Intégration (2/5)

Soit {f :[a,+\infty[\to\mathbb{K}}, continue par morceaux.
On considère la fonction {F\colon [a,+\infty[\to\mathbb{K}} définie par : {\forall\, x\ge a,\;F(x)=\displaystyle\int_a^{x}f(t)\,\text{d}t}.
On suppose que {F} possède une limite finie {\ell} dans {\mathbb{K}} quand {x\to+\infty}.
On dit alors que l’intégrale généralisée {\displaystyle\int_a^{+\infty}f(t)\,\text{d}t} converge}, et on pose {\displaystyle\int_a^{+\infty}f(t)\,\text{d}t=\ell}.
Sinon on dit que {\displaystyle\int_a^{+\infty}f(t)\,\text{d}t} diverge.

• On parle d’intégrale convergente ou divergente.
  On ne donne pas de valeur à une intégrale divergente.
  On traitera souvent les deux problèmes successivement : d’abord déterminer la nature (convergente ou divergente) de l’intégrale, puis le cas échéant calculer sa valeur (il arrive souvent qu’on puisse prouver la convergence sans qu’on sache calculer la valeur ou sans qu’on ne nous le demande).
• Avec les notations précédentes, si {c>a} les intégrales {\displaystyle\int_a^{+\infty}f(t)\,\text{d}t} et {\displaystyle\int_c^{+\infty}f(t)\,\text{d}t} ont même nature. En cas de convergence, on a alors : {\displaystyle\int_a^{+\infty}f(t)\,\text{d}t=\displaystyle\int_a^{c}f(t)\,\text{d}t+\displaystyle\int_c^{+\infty}f(t)\,\text{d}t}Le choix de {a} n’est pas important pour la nature de l’intégrale, mais il l’est pour sa valeur!

Soit {f :[a,+\infty[\to\mathbb{R}^{+}} une fonction continue par morceaux, à valeurs réelles positives.
Alors {\displaystyle\int_a^{+\infty}f(t)\,\text{d}t} converge si et seulement {x\mapsto \displaystyle\int_a^{x}f(t)\,\text{d}t} est majorée sur {[a,+\infty[}.
On a alors : {\displaystyle\int_a^{+\infty}f(t)\,\text{d}t = \displaystyle\sup_{x\ge a}\displaystyle\int_a^{x}f(t)\,\text{d}t}.

Soit {f :[a,+\infty[\to\mathbb{C}} une fonction continue par morceaux, à valeurs complexes.
Soit {u=\text{Re}(f)} et {v=\text{Im}(f)} les fonctions « partie réelle » et « partie imaginaire » de {f}.
Alors {\displaystyle\int_a^{+\infty}f(t)\,\text{d}t} converge si et seulement si {\displaystyle\int_a^{+\infty}u(t)\,\text{d}t} et {\displaystyle\int_a^{+\infty}v(t)\,\text{d}t} convergent.
En cas de convergence, on a l’égalité : {\displaystyle\int_a^{+\infty}f(t)\,\text{d}t=\displaystyle\int_a^{+\infty}u(t)\,\text{d}t+i\displaystyle\int_a^{+\infty}v(t)\,\text{d}t}

• Étude de la série des 1/n^z
• Existence d’une intégrale généralisée
• Divergences en chaîne
• Intégrale d’une fonction discrète