Intégration (1/5)

Soit {[a,b]} un segment de {\mathbb{R}}, avec {a\lt b}.
On appelle subdivision de {[a,b]} toute suite finie {\sigma=(x_{k})_{0\le k\le n}}, avec :{x_0=a\lt x_1\lt \ldots\lt x_{n-1}\lt x_n=b}L’ensemble {\{x_k,\;k\in\llbracket0,n\rrbracket\}} est le support de {\sigma}.
Le réel {h=\max\limits_{0\le k\lt n}(x_{k+1}-x_k)} est le pas de {\sigma}

Soit {f} une fonction définie sur le segment {[a,b]}, à valeurs dans {\mathbb{K}}.
On dit que {f} est continue par morceaux sur {[a,b]} s’il existe une subdivision {\sigma=(x_k)_{0\,\le\,k\,\le\,n}} de {[a,b]} (dite adaptée à {f}) telle que, pour tout {k\in\llbracket0,n\rrbracket} :

• la restriction de {f} à chaque intervalle ouvert {]x_k,x_{k+1}[} est continue.
• cette restriction est prolongeable par continuité aux points {x_k} et {x_{k+1}}.

On note {\mathcal{C}_m([a,b],\mathbb{K})} l’ensemble des fonctions continues par morceaux de {[a,b]} dans {\mathbb{K}}.

• Dire que {f} est dans {\mathcal{C}_m([a,b],\mathbb{K})}, c’est dire qu’elle n’a qu’un nombre fini de discontinuités, et qu’en chacune d’elles, il y a une limite à gauche et une limite à droite finies.
• Toute fonction continue par morceaux sur {[a,b]} est bornée sur {[a,b]}.

Soit {I} un intervalle de {\mathbb{R}} d’intérieur non vide. Soit {f} une fonction de {I} dans {\mathbb{K}}.
On dit que {f} est continue par morceaux sur {I} si elle l’est sur tout segment de {I}.
On note {\mathcal{C}_m(I,\mathbb{K})} l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur {I} et à valeurs dans {\mathbb{K}}.

• {\mathcal{C}_m(I,\mathbb{K})} est stable par combinaisons linéaires, et pour le prodit.
• Soit {f :I\to\mathbb{C}}. Posons {u=\text{Re}(f)} et {v=\text{Im}(f)}.
  Alors {f} est dans {\mathcal{C}_m(I,\mathbb{C})} si et seulement si {u,v} sont dans {\mathcal{C}_m(I,\mathbb{R})}.
• Si {f\in\mathcal{C}_m(I,\mathbb{C})} alors {|f|\in\mathcal{C}_m(I,\mathbb{R}^+)}
• Soit {f:I\in\mathbb{R}}.
  On note {\begin{cases}f^{+}=\max(f,0)=\frac12(f+\left|f\right|)\\f^{-}=\max(-f,0)=\frac12(\left|f\right|-f)\end{cases}}
  {f^{+}\;\text{et}\;f^{-}} sont positives et {\begin{cases}f=f^{+}-f^{-}\\[3pt]\left|f\right|=f^{+}+f^{-}\end{cases}}

  Si {f\colon I\to\mathbb{R}} est continue par morceaux, il en est de même des fonctions {f^{+}} et {f^{-}}.