⇧ ℹ️① Fonctions cpm. Intégrale sur un segment.
② Intégrales généralisées. Intégrales de référence.
③ Propriétés et calcul des intégrales généralisées.
④ Intégrabilité. Comparaisons. Suites/séries d’intégrales.
⑤ Continuité/dérivabilité des intégrales à paramètre. 1 2 3 4 ⑤
② Intégrales généralisées. Intégrales de référence.
③ Propriétés et calcul des intégrales généralisées.
④ Intégrabilité. Comparaisons. Suites/séries d’intégrales.
⑤ Continuité/dérivabilité des intégrales à paramètre. 1 2 3 4 ⑤
Le contexte de cette partie
Dans cette partie, on considère des fonctions {f\colon I\times J\to\mathbb{K}} définies sur le produit cartésien de deux intervalles {I} et {J}, et à valeurs dans {\mathbb{K}}. On note {x} la variable qui parcourt {I}, et {t} celle qui parcourt {J} : ainsi {f(x,t)} désigne l’image d’un élément quelconque de {I\times J}.
L’objectif est d’étudier sur {I} la fonction {g\colon x\mapsto \displaystyle\int_{J}f(x,t)\,\text{d}t}, dite « intégrale à paramètre ».
Ainsi {J} est l’intervalle d’intégration (par rapport à {t}), et {I} est l’intervalle du paramètre {x}.
L’objectif est d’étudier sur {I} la fonction {g\colon x\mapsto \displaystyle\int_{J}f(x,t)\,\text{d}t}, dite « intégrale à paramètre ».
Ainsi {J} est l’intervalle d’intégration (par rapport à {t}), et {I} est l’intervalle du paramètre {x}.
Continuité des intégrales à paramètre
P. Le théorème de continuité
Soit {I} et {J} deux intervalles de {\mathbb{R}}, d’intérieur non vide.
Soit {f\colon(x,t)\mapsto f(x,t)} une fonction définie sur {I\times J}, à valeurs dans {\mathbb{K}}.
On fait les trois hypothèses suivantes :
Soit {f\colon(x,t)\mapsto f(x,t)} une fonction définie sur {I\times J}, à valeurs dans {\mathbb{K}}.
On fait les trois hypothèses suivantes :
- pour tout {x} de {I}, la fonction {t\mapsto f(x,t)} est continue par morceaux sur {J}
-
hypothèse de domination :
il existe {\varphi\in\mathcal{L}^{1}(J,\mathbb{R}^{+})} telle que : {\forall\, x\in I,\;\forall\, t\in J\;\left|f(x,t)\right|\le\varphi(t)} - pour tout {t} de {J}, la fonction {x\mapsto f(x,t)} est continue sur {I}
Alors {g\colon x\mapsto \displaystyle\int_{J}f(x,t)\,\text{d}t} est définie et continue sur {I}.
On vérifiera toutes les conditions, mais l’hypothèse de domination est la plus importante.
R. Cas de la domination sur tout segment
Le résultat (continuité de {g} sur {I}) reste valable si on remplace l’hypothèse de domination par :
«pour tout segment {K\subset I}, il existe {\varphi_{K}\in\mathcal{L}^{1}(J,\mathbb{R}^{+})} telle que: {\forall\, x\in K,\;\left|f(x,t)\right|\le\varphi_{K}(t)}»
Bien sûr, dans ce nouvel énoncé, {\varphi_{K}} dépend du segment {K} de {I} sur lequel on se place.
La possibilité de ce nouvel énoncé provient du « caractère local » de la continuité.
«pour tout segment {K\subset I}, il existe {\varphi_{K}\in\mathcal{L}^{1}(J,\mathbb{R}^{+})} telle que: {\forall\, x\in K,\;\left|f(x,t)\right|\le\varphi_{K}(t)}»
Bien sûr, dans ce nouvel énoncé, {\varphi_{K}} dépend du segment {K} de {I} sur lequel on se place.
La possibilité de ce nouvel énoncé provient du « caractère local » de la continuité.
R. Cas où l'intervalle est un segment
Le théorème de continuité admet une version simple quand {J} est un segment.
Soit {f\colon I\times [a,b]\to \mathbb{K}}, continue. Alors {x\mapsto\displaystyle\int_{a}^{b}f(x,t)\,\text{d}t} est continue sur {I}.
Soit {f\colon I\times [a,b]\to \mathbb{K}}, continue. Alors {x\mapsto\displaystyle\int_{a}^{b}f(x,t)\,\text{d}t} est continue sur {I}.