Intégration (3/5)

Soit {f,g} dans {\mathcal{C}_m(]a,b[,\mathbb{K})}, et {\alpha,\beta} dans {\mathbb{K}}.
On suppose que {\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\,\text{d}t} et {\displaystyle\int_{a}^{b}g(t)\,\text{d}t} convergent.
Alors l’intégrale {\displaystyle\int_{a}^{b}(\alpha f(t)+\beta g(t))\,\text{d}t} converge et :{\displaystyle\int_{a}^{b}(\alpha f(t)\!+\!\beta g(t))\text{d}t=\alpha\displaystyle\int_{a}^{b}\!f(t)\text{d}t+\beta\displaystyle\int_{a}^{b}\!g(t)\text{d}t}

La propriété précédente admet bien des cas particuliers.

• on a pris des hypothèses de « continuité par morceaux » sur l’intervalle ouvert {]a,b[}, mais le résultat reste évidemment vrai avec les mêmes hypothèses mais sur {[a,b[} ou {]a,b]}.
• ce qui est important c’est qu’il y ait une intégrale généralisée « quelque part » (concernant les bornes : en {a} ou en {b} ou les deux, et les fonctions : pour {f} ou pour {g} ou les deux).
• il est même possible que les intégrales de {f} et de {g} soient généralisées mais que celle de {\alpha f+\beta g} ne le soit pas (bien sûr l’égalité entre les intégrales reste valable!).

Soit {f} et {g} dans {\mathcal{C}_m(]a,b[,\mathbb{R})}, telles que {\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\,\text{d}t} et {\displaystyle\int_{a}^{b}g(t)\,\text{d}t} convergent.

• si {f} est positive ou nulle sur {]a,b[}, alors {\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\,\text{d}t\ge 0} (positivité de l’intégrale).
• si {f\le g} sur {]a,b[}, alors {\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\,\text{d}t\le \displaystyle\int_{a}^{b}g(t)\,\text{d}t} (croissance de l’intégrale).

Soit {f} dans {\mathcal{C}_m(]a,b[,\mathbb{R})}, et soit {c} dans {]a,b[}.
On suppose que {\displaystyle\int_{a}^{c}f(t)\,\text{d}t} et {\displaystyle\int_{c}^{b}f(t)\,\text{d}t} convergent.
Alors l’intégrale {\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\,\text{d}t} converge et on a : {\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\,\text{d}t=\displaystyle\int_{a}^{c}f(t)\,\text{d}t+\displaystyle\int_{c}^{b}f(t)\,\text{d}t}