Intégration (4/5)

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On se place sur un intervalle ouvert ${I=\,]a,b[}$ , avec ${-\infty\le a\lt b\le +\infty}$ . Les énoncés restent valables sur un intervalle semi-ouvert ${I=[a,b[}$ ou ${I=\,]a,b]}$ .
Rappelons que si ${f}$ est continue par morceaux sur ${I}$ , il en est de même de ${\left|f\right|}$ , de ${f^{+}}$ , et de ${f^{-}}$ .

Fonctions intégrables

D. Intégrale absolument convergente

Soit

{f\colon ]a,b[\,\to \mathbb{K}}

une fonction continue par morceaux.
On dit que

{\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\,\text{d}t}

est absolument convergente si

{\displaystyle\int_{a}^{b}\left|f(t)\right|\,\text{d}t}

est convergente.

P. Convergence absolue ⇒ convergence

Soit

{f\colon ]a,b[\,\to \mathbb{K}}

une fonction continue par morceaux, avec

{-\infty\le a\lt b\le +\infty}

.
Si

{\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\,\text{d}t}

converge absolument, alors elle converge et

{\Big|\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\,\text{d}t\Big|\le \displaystyle\int_{a}^{b}\left|f(t)\right|\,\text{d}t}

D. Intégrabilité sur un intervalle

Soit

{I}

un intervalle de

{\mathbb{R}}

, d’extrémités

{a}

{b}

, avec

{-\infty\le a\lt b\le +\infty}

. Soit

{f}

dans

{\mathcal{C}_m(I,\mathbb{K})}

.
On dit que

{f}

est intégrable sur

{I}

si l’intégrale

{\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\,\text{d}t}

est absolument convergente.
Cette intégrale est notée

{\displaystyle\int_{I}f(t)\,\text{d}t}

, ou plus simplement

{\displaystyle\int_{I}f}

P. Une définition équivalente

Soit

{I}

un intervalle de

{\mathbb{R}}

, d’extrémités

{a}

{b}

, avec

{-\infty\le a\lt b\le +\infty}

. Soit

{f}

dans

{\mathcal{C}_m(I,\mathbb{K})}

.
Les deux propositions suivantes sont équivalentes :

la fonction ${f}$ est intégrable sur ${I}$ ;
il existe ${M\ge0}$ tel que, pour tout segment ${[\alpha,\beta]\subset\,]a,b[}$ , on ait : ${\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\left|f(t)\right|\,\text{d}t\le M}$ .

R. Remarques sur l'intégrabilité

L’intérêt de l’intégrabilité est qu’on se concentre sur les propriétés des fonctions positives.
Si ${f}$ est continue par morceaux sur le segment ${[a,b]}$ , alors elle y est évidemment intégrable, et il n’y a pas de contradiction dans les notations de l’intégrale!
Une évidence : dire que ${f}$ est intégrable sur ${I}$ , c’est dire que ${\left|f\right|}$ est intégrable sur ${I}$ .
De même, si ${f}$ est à valeurs réelles : ${f}$ est intégrable si et seulement si ${f^{+}}$ et ${f^{-}}$ le sont.
Dans le même ordre d’idée, si ${f}$ est à valeurs réelles et garde un signe constant, il n’y a aucune différence entre l’intégrabilité de ${f}$ sur ${I=\,]a,b[}$ (ou ${[a,b[}$ , ou ${]a,b]}$ ) et la convergence de l’intégrale ${\displaystyle\int_a^bf(t)\,\text{d}t}$ .
Si ${f}$ est à valeurs complexes, elle est intégrable si et seulement si ${\text{Re}(f)}$ et ${\text{Im}(f)}$ le sont.
De la même manière (et c’est évident) : ${f}$ est intégrable sur ${I}$ si et seulement si ${\overline{f}}$ l’est.

R. Un exemple important

Il est possible que

{\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\,\text{d}t}

converge mais qu’elle ne converge pas absolument.
L’exemple classique est

{f\colon t\mapsto\dfrac{\sin(t)}{t}}

, qui n’est pas intégrable sur

{\mathbb{R}^{+}}

.
On montre que

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(t)}{t}\,\text{d}t=\dfrac{\pi}{2}}

, mais

{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\left|\sin(t)\right|}{t}\,\text{d}t=+\infty}

E. Exercices conseillés

Intégrabilité par comparaisons

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Fonctions de carré intégrable

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Suites et séries d’intégrales

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