Polynômes, fractions rationnelles

Exercices corrigés de mathématiques en Mpsi Pcsi, pour le chapitre « Polynômes, Fractions rationnelles »

Polynômes tels que P(X)=P(1-X)

(oral Mines-Ponts)
Déterminer l’ensemble des

{P\in\mathbb{K}[X]}

tels que

{P(X) = P(1- X)}

(oral Centrale)
Soient

{P\in\mathbb{R}[X]}

{Q=\displaystyle\sum_{k\ge0}P^{(k)}}

.
Montrer que si

{P}

est sans racine réelle alors

{Q}

aussi.

(oral Centrale)
Soit

{(x,y,z)\in\,\mathbb{C}^3}

tel que

{x+y+z=0}

.
Montrer que :

{\dfrac{x^5+y^5+z^5}5=\dfrac{x^2+y^2+z^2}2\times\dfrac{x^3+y^3+z^3}3.}

(oral Mines-Ponts)
Soit

{P(X) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}\in \mathbb{R}[X]}

de degré

{n\ge 1}

, scindé simple dans

\mathbb{R}

.
Montrer que le polynôme

{P}

n’a pas deux coefficients consécutifs nuls.

(oral Centrale)
Soit

{a_n}

le coefficient de

{X^n}

dans

{(X^2+X+1)^n}

.
Trouver une relation de récurrence entre les

{a_n}

(oral Centrale)
Soit

{P\in\mathbb{R} [X]}

. Montrer que

{(a)\Leftrightarrow(b)}

:
(a)

{\forall x\in\mathbb{R}^{+},\;P(x)\ge 0}

(b)

{\exists(A,B)\in\mathbb{R}[X]^{2},\;P(X)=A^{2}+XB^{2}}