Théorème de Minkowski dans le plan
Bases et pavage associés à un réseau du plan.
Ens Mp/Mpi Topologie
Densité maximale d’un empilement
Proportion du plan couverte par des disques de rayon {1} disjoints, centrés sur un réseau
Quelques espaces tangents
Vecteurs tangents au groupe orthogonal, aux exponentielles de matrices de trace 0,…
Ouverts et vecteurs tangents
En un point d’un ouvert, tous les vecteurs sont tangents. Réciproque?
Laplacien de la transformée de Kelvin
Identité d’Euler pour calculer le laplacien de la transformée de Kelvin de {f} homogène.
Application à jacobienne antisymétrique
Montrer qu’une application de classe {\mathcal{C}^2} à jacobienne antisymétrique est affine.
Application à différentielle constante
Montrer qu’une application de {\mathbb{R}^n} dans lui-même à différentielle constante est affine.
Indice d’un lacet et déformation
Étudier l’indice d’un lacet. Deux lacets assez proches ont le même indice autour de {0}.
Indice d’un chemin fermé
Dérivabilité complexe {\Rightarrow} différentiabilité réelle.
Indice d’un chemin et composantes connexes.
Indice d’un chemin et composantes connexes.
Dérivées et primitives des distributions
Toute distribution sur {\mathbb{R}} possède-t-elle une primitive ? Une dérivée ?
Distributions et masse de Dirac
Découvrir les distributions à partir des fonctions lisses à support compact.
Conditionnement d’une matrice
Rayon spectral et normes subordonnées
Relier le rayon spectral aux normes subordonnées et caractériser {\lim A^k=0}.
Continuité du polynôme minimal
En quelles matrices le polynôme minimal varie-t-il continûment ?
Séparabilité dans un espace normé
Parties séparables d’un espace vectoriel normé.
Théorème de Toeplitz–Hausdorff
Soit {A\!\in\!\mathcal{M}_n(\mathbb{C})} et {W(A)\!=\!\left\{X^\star AX,\lVert X\rVert_2\!=\!1\right\}}.
Alors {W(A)} est un convexe de {\mathbb{C}}.
Alors {W(A)} est un convexe de {\mathbb{C}}.
Compacts connexes par arcs
Une intersection décroissante de compacts connexes par arcs est-elle encore ccpa ?
Théorème de Carathéodory
Convolution de suites
Convolution de suites sommables pondérées, et norme de l’opérateur {v\mapsto u\star v}.
Application dilatante sur un compact
Fonctions continues ouvertes
Fonctions continues de {[0,1]} dans lui-même envoyant tout ouvert sur un ouvert.
Moyenne géométrique et densité
Sous conditions de {M\subset\mathbb{R}^{+\star}}, l’ensemble {M\cap\mathbb{Q}} est dense dans {M}.
Rotations de Jacobi
Utiliser une rotation plane pour annuler un coeff. non diagonal de {A\in\mathcal{S}_n(\mathbb{R})}.
Théorème spectral et compacité
Démonstration du théorème spectral par un argument de compacité.
Théorèmes de Radon et de Helly
Théorèmes de Radon et de Helly; séparation de deux ensembles finis par un hyperplan