(Oral Ens Mp/Mpi)
Soit {\lVert\cdot\rVert} une norme sur {\mathbb{C}^n}. Pour {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}, on pose : {\begin{array}{l}\rho(A)=\displaystyle\max_{\lambda\in\operatorname{Sp}(A)}|\lambda|,\\[10pt]\lVert A\rVert_{\mathrm{op}}=\displaystyle\max_{\lVert x\rVert=1}\lVert Ax\rVert.\end{array}}
| Question a) Montrer que {\lVert\cdot\rVert_{\mathrm{op}}} est une norme et que : {\lVert AB\rVert_{\mathrm{op}}\leqslant\lVert A\rVert_{\mathrm{op}}\lVert B\rVert_{\mathrm{op}}.} |
| Question b) Montrer que {\rho(A)\leqslant\lVert A\rVert_{\mathrm{op}}}. |
| Question c) Soient {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})} et {\varepsilon>0}. Montrer qu’il existe une norme sur {\mathbb{C}^n} dont la norme subordonnée vérifie : {\lVert A\rVert_{\mathrm{op}}\leqslant\rho(A)+\varepsilon.} |
| Question d) Montrer l’équivalence des conditions suivantes : {\!\!\!\begin{array}{ll}\mathrm{(i)}&\!\!\!\text{Il existe une norme subordonnée telle que}\\&\!\!\!\lVert A\rVert_{\mathrm{op}}\lt1.\\[8pt]\mathrm{(ii)}&\!\!\!A^k\longrightarrow0.\\[8pt]\mathrm{(iii)}&\!\!\!\text{Il existe une matrice }M\text{ semblable à }A\\&\text{telle que }\lVert M\rVert_{\mathrm{op},\infty}\lt1.\end{array}} |
| Question e) Montrer que, pour toute norme {N} sur {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})} : {\lim_{k\to+\infty}N(A^k)^{1/k}=\rho(A).} |