(Oral Ens Mp/Mpi)
Soient {E} un espace vectoriel réel de dimension {n} et {x_1,\ldots,x_m\in E}. Les coefficients positifs sont ici entendus au sens large : ils sont positifs ou nuls.
| Question a) Montrer que toute combinaison linéaire à coefficients positifs des {x_i} peut s’écrire comme combinaison linéaire à coefficients positifs d’une sous-famille libre. |
| Question b) Montrer que toute combinaison convexe des {x_i} peut s’écrire comme combinaison convexe d’au plus {n+1} d’entre eux. |
| Question c) Montrer que l’ensemble {F} des combinaisons linéaires à coefficients positifs des {x_i} est fermé. |
| Question d) Soit {A} une partie compacte de {E}. Montrer que son enveloppe convexe est compacte. |