(Oral Ens Mp/Mpi)
Soit {n\geqslant2}.
| Question a) Montrer que toute matrice {M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} s’écrit de façon unique comme somme d’une matrice symétrique {M^s} et d’une matrice antisymétrique {M^a}. |
| Question b) Soit {u:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n} de classe {\mathcal{C}^2}. On note {Du^s} et {Du^a} les parties symétrique et antisymétrique de sa jacobienne. Si {Du^s=0} sur {\mathbb{R}^n}, montrer que {Du^a} est constante. Que dire de {u} ? |
| Question c) Soit {\Omega} un ouvert connexe par arcs de {\mathbb{R}^n}. On suppose que {Du^s=0} sur {\Omega} et que {u=0} sur {\partial\Omega}. Que dire de {u} ? |