(Oral Ens Mp/Mpi)
On note {\mathcal{D}} l’espace des fonctions réelles de classe {\mathcal{C}^{\infty}} à support compact sur {\mathbb{R}}, et {\mathcal{D}^\star} son dual algébrique.
| Question a) Montrer que {\mathcal{D}} n’est pas nul. |
| Question b) On note {\mathcal{D}'} l’ensemble des formes linéaires {T} telles que, pour tout compact {K}, il existe {p\in\mathbb{N}} et {C>0} tels que : {|T(\varphi)|\leqslant C\sum_{j=0}^{p}\lVert\varphi^{(j)}\rVert_\infty}pour toute {\varphi\in\mathcal{D}} à support dans {K}. Montrer que {\mathcal{D}'} est un sous-espace vectoriel de {\mathcal{D}^\star}. |
| Question c) Pour {T\in\mathcal{D}'}, montrer que : {T'(\varphi)=-T(\varphi')}définit un élément de {\mathcal{D}'}. |
| Question d) Pour {U\in\mathcal{D}'}, existe-t-il {T\in\mathcal{D}'} telle que {T'=U} ? |
| Question e) Pour {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} continue par morceaux, on pose : {T_f(\varphi)=\int_{\mathbb{R}}f(x)\varphi(x)\mathrm{d}x.}Montrer que {T_f\in\mathcal{D}'}. |
| Question f) Soit {F(x)=\int_0^xf(t)\mathrm{d}t}. Montrer que {T_F'=T_f}. |
| Question g) Montrer que {T'=0} si et seulement si {T=T_c} pour une fonction constante {c}. |
| Question h) On pose : {T_{1/x}(\varphi)=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{|x|\geqslant\varepsilon}\frac{\varphi(x)}{x}\mathrm{d}x.}Montrer que {T_{1/x}\in\mathcal{D}'}. |