Dérivabilité 2

Dérivabilité

Une équation intégrale

(Oral Mines-Ponts)
On considère l’équation d’inconnue {f\in C^{0}(\mathbb{R}^{+})} :{(E) :\forall\,x\geq0,\;x^{2}f(x)=2\displaystyle\int_{0}^{x}tf(x-t)\mathrm{d}t}
Montrer que toute solution {f} est {C^{\infty}} sur {\mathbb{R}^{+*}}.
Déterminer toutes les solutions de {(E)}.