Calculs asymptotiques (2/5)

Dans cette partie, on considère un intervalle {I} de {\mathbb{R}}, d’intérieur non vide.
On désigne par {a} un élément ou une extrémité de {I} ({a} est dans {\overline{\mathbb{R}}}).

On se limite ici à des fonctions définies sur {I\setminus\{a\}} et à valeurs réelles ou complexes (à valeurs réelles dans la plupart des cas), et qui ne s’annulent pas au voisinage de {a} (elles peuvent être définies et nulles au point {a} lui-même, mais ça n’intervient pas dans les définitions).

Les comparaisons de fonctions ont lieu au voisinage du point {a}, avec {a} dans {\mathbb{R}}, ou {a=+\infty} ou {a=-\infty} (alors que pour les suites, les comparaisons ont lieu uniquement quand {n} tend vers {+\infty}).

Les définitions suivantes constituent des comparaisons locales de fonctions quand {x} tend vers {a} (on dit aussi, de façon plus informelle mais moins précise, que les comparaisons sont effectuées « en {a}« ).

Les définitions et les propriétés qui en découlent sont très proches de celles vues pour les comparaisons des suites numériques. On se contente donc d’une simple adaptation de ce qui a été dit précédemment.

Soient {f}, {g} deux fonctions de {I\setminus\{a\}}, à valeurs dans {\mathbb{R}} (ou {\mathbb{C}}).
On dit que {f} est dominée par {g} quand {x} tend vers {a} (ou en {a}) si {\dfrac{f}{g}} est bornée au voisinage de {a}.
On note alors {f=\text{O}(g)} et parfois {f=\text{O}_a(g)}.

Définition équivalente : il existe {M\ge0} tel que {|f(x)|\le M|g(x)|} au voisinage de {a}.

Soient {f}, {g} deux fonctions de {I\setminus\{a\}} à valeurs dans {\mathbb{R}} (ou {\mathbb{C}}).
On dit que {f} est négligeable devant {g} quand {x} tend vers {a} (ou en {a}) si {\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=0}.
On note alors {f=\text{o}(g)}, ou éventuellement {f=\text{o}_a(g)}.

Définition équivalente : pour tout {\varepsilon >0} (sous-entendu « ausi petit soit-il ») il existe un voisinage de {a} (dépendant bien sûr de {\varepsilon}) sur lequel on a l’inégalité {|f(x)|\le\varepsilon|g(x)|}.

Soient {f}, {g} deux fonctions de {I\setminus\{a\}} à valeurs dans {\mathbb{R}} (ou {\mathbb{C}}).
On dit que {f} est équivalente à {g} au voisinage de {a} (ou en {a}) si {\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=1}.
On note alors {f\sim g}, ou éventuellement {f\stackrel{a}{\sim}g}.

Définition équivalente : dire que {f\stackrel{a}{\sim}g}, c’est dire que {f-g} est négligeable devant {g} en {a}.

Dans les résultats suivants, on désigne par {f,g,h} des fonctions numériques définies sur {I\setminus\{a\}} et qui ne s’annulent pas au voisinage de {a}. Les relations de comparaison sont établies quand {x} tend vers {a}.

• Si {f=\text{o}(g)} alors {f=\text{O}(g)}.
  Si {f=\text{o}(g)} et {g=\text{O}(h)} alors {f=\text{o}(h)} (même résultat si {f=\text{O}(g)} et {g=\text{o}(h)}).
• Si {f=\text{O}(h)} et si {g=\text{O}(h)}, alors {\alpha f+\beta g=\text{O}(h)} (même résultat avec des « {\text{o}} »).
  Si {\alpha\ne0} et si {f=\text{O}(g)} (resp. {f=\text{o}(g)}, {f\sim g}), alors {f=\text{O}(\alpha g)} (resp. {f=\text{o}(g)}, {\alpha f\sim\alpha g)}
• Si {f\sim g} (et sont à valeurs réelles), alors {f} et {g} gardent le même signe au voisinage de {+\infty}.
  Si {f\sim g}, et si {\lim g=\ell} (avec {\ell} dans {\ov\mathbb{R}} ou dans {\mathbb{C}}), alors {\lim f=\ell}.
  Réciproquement : si {\lim f=\lim g=\ell}(où {\ell} est un scalaire non nul), alors {f\sim g}.
• Si {\;f\sim g\;} alors {\;fh\sim gh\;} et {\;\dfrac{h}{f}\sim \dfrac{h}{g}}, et plus généralement : {\;h\,f^{\alpha}\sim h\,g^{\alpha}}.
• Attention !! Si {f\sim g} alors on n’a pas, en général, {f+h\sim g+h}.
• Si {f_2,f_3,\ldots,f_n} sont des {\text{o}(f_1)} alors {f_1+f_2+\cdots+f_n\sim f_1}.

Soient {f}, {g} deux fonctions de {I\setminus\{a\}} à valeurs dans {\mathbb{R}} (ou {\mathbb{C}}).
Soit {\varphi} une fonction de {J} dans {I}, qui tend vers {a} quand {x} tend vers {b} dans {J}.
Si {f} est dominée par {g} en {a}, alors {f\circ\varphi} est dominée par {g\circ\varphi} en {b}.
Si {f} est négligeable devant {g} en {a}, alors {f\circ\varphi} est négligeable devant {g\circ\varphi} en {b}.
Si {f} et {g} sont équivalentes en {a}, alors {f\circ\varphi} et {g\circ\varphi} sont équivalentes en {b}.

C’est surtout cette dernière propriété qui est utilisée.

Par exemple, du fait que {\sin(x)\stackrel{0}{\sim} x} en {0}, on peut écrire : {\sin(x^2)\stackrel{0}{\sim} x^2}.

Toujours grâce à {\sin(x)\stackrel{0}{\sim} x}, on trouve : {\sin\Bigl(\dfrac1x\Bigr)\stackrel{\infty}{\sim}\dfrac1x\;\text{et}\;\sin(\ln(x))\stackrel{1}{\sim}\ln(x)\stackrel{1}{\sim}(x-1)}

• Les équivalents servent essentiellement aux calculs de limites : on transforme une expression {f(x)}, dont on cherche la limite {\ell} en un point {a}, en une
  expression équivalente {g(x)} dont la limite en ce point est évidente (si {\ell} est un scalaire non nul, il est courant qu’on aboutisse à {g(x)=\ell}).

  Les outils essentiels sont les équivalents classiques (voir plus loin) et la possibilité qu’on a de remplacer les facteurs d’un produit ou d’un quotient par des équivalents.

• L’erreur la plus fréquente consiste à utiliser les équivalents dans des sommes. La seule propriété concernant les équivalents et les sommes peut s’écrire : {g=\text{o}(f)\Rightarrow f+g\sim f}.
• On évitera d’utiliser un équivalent d’une fonction {f} sous la forme {f\sim g+h}, avec {h=\text{o}(g)}, et surtout de donner un rôle à {h} : on se contentera d’écrire {f\sim g}.

  Écrire par exemple {\cos(x)\stackrel{0}{\sim}1-\dfrac{x^2}2} n’est pas faux mais c’est dangereux si on donne un rôle à {-\dfrac{x^2}2}.

  En effet, on a aussi : {\cos(x)\stackrel{0}{\sim}1+x^2\stackrel{0}{\sim}1-36x^2\ldots}

  Pour cet exemple, la solution est sans doute d’écrire : {1-\cos(x)\stackrel{0}{\sim} \dfrac{x^2}2}.

• Soit {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell}, avec {\ell\ne0}, alors {f(x)\stackrel{a}{\sim}\ell}. Mais si {\ell=0}, on n’écrira pas {f(x)\sim0} !
• Si {f\sim g} ({f} et {g} étant positives et tendant vers une limite {\ell} différente de {1}) alors {\ln(f)\sim\ln(g)}.

  C’est faux si {f} et {g} tendent vers {1}.
  Par exemple, {(1+x)\stackrel{0}{\sim}(1+x^2)}, mais en ce point {\begin{cases}\ln(1+x)\sim x&\cr\ln(1+x^2)\sim x^2&\end{cases}} mais {x\nsim x^{2}}

• On évitera surtout de prendre des « exponentielles » d’équivalents !
  En effet {\text{e}^ f\sim\text{e}^g\Leftrightarrow f-g=\text{o}(1)}, ce qui n’équivaut pas du tout à {f\sim g}.
  Exemples : considérer {x} et {x^2} en {0}, ou encore {x} et {x+1} en {+\infty}.