Calcul matriciel (2/3)

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L’anneau ${(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),+,\times)}$

P. L'anneau M_n(&Kopf;)

Muni de la somme et du produit des matrices, l’ensemble

{\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}

possède une structure d’anneau.
L’anneau

{(\mathcal{M}_n(\mathbb{K}),+,\times)}

est non commutatif dès que

{n\ge2}

R. Remarques

Le neutre additif de l’anneau ${\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}$ est la matrice nulle, notée ${0}$ (ou éventuellement ${0_{n}}$ ).
Le neutre multiplicatif de l’anneau ${\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}$ est la matrice identité ${\text{I}_n}$ .
Si ${n=1}$ , on identifie une matrice ${A=(a)}$ avec l’unique scalaire qu’elle contient.
Dans ce cas, ${\mathcal{M}_{1}(\mathbb{K})}$ s’identifie donc au corps (commutatif) ${\mathbb{K}}$ .
Il est facile de former des matrices qui ne commutent pas dans ${\mathcal{M}_{2}(\mathbb{K})}$ .
Par exemple si ${A=\begin{pmatrix}0&1\\ 1&0\end{pmatrix}}$ et ${B=\begin{pmatrix}0&2\\1&0 \end{pmatrix}}$ , alors ${AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&2 \end{pmatrix}}$ et ${BA=\begin{pmatrix}2&0\\ 0&1 \end{pmatrix}}$ .

Si ${n\ge2}$ , l’anneau ${\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}$ est non commutatif.
Il suffit pour le voir d’étendre l’exemple précédent.
Prenons en effet : ${A\!=\!\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots\\ 1&0&0&\cdots\\0&0&0&\ldots\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\end{pmatrix}\,\text{et}\,B\!=\!\begin{pmatrix}0&2&0&\cdots\\ 1&0&0&\cdots\\0&0&0&\ldots\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\end{pmatrix}}$ Avec ces notations : ${AB\!=\!\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots\\ 0&2&0&\cdots\\0&0&0&\ldots\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\end{pmatrix},\,BA\!=\!\begin{pmatrix}2&0&0&\cdots\\ 0&1&0&\cdots\\0&0&0&\ldots\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\end{pmatrix}}$

P. Produits de matrices triangulaires

Soit

{A}

{B}

deux matrices de

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

.
On suppose que

{A}

{B}

sont diagonales (resp. triangulaires supérieures, triangulaires inférieures).
Alors

{C=AB}

est encore diagonale (resp. triangulaire supérieure, triangulaire inférieure).
De plus les coefficients diagonaux

{c_{ii}}

{C}

vérifient

{c_{ii}=a_{ii}b_{ii}}

R. Propriétés diverses

Les matrices triangulaires supérieures forment un sous-espace vectoriel de ${\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}$ .
La dimension de ce sous-espaces est ${\dfrac{n(n+1)}{2}}$ .
Le résultat précédent nous dit que c’est aussi un sous-anneau de ${\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}$ .
Il en est bien sûr de même pour les matrices triangulaires inférieures.
Les matrices diagonales forment un sous-espace de ${\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}$ (et un sous-anneau) de dimension ${n}$ .
La proposition précédente s’étend (récurrence facile) à un nombre quelconque de matrices carrées (toutes diagonales, ou toutes triangulaires supérieures, ou toutes triangulaires inférieures).
Cela s’applique donc aux puissances ${A^{p}}$ (avec ${p}$ dans ${\mathbb{N}^{*}}$ ) d’une matrice diagonale ou triangulaire.
Si deux matrices ${A}$ et ${B}$ sont triangulaires (disons supérieurement) et si l’une d’elle est strictement triangulaire, alors leur produit ${AB}$ est strictement triangulaire.
On ne peut rien dire du produit de deux matrices triangulaires, l’une inférieure et l’autre supérieure.
Par exemple, si ${A=\begin{pmatrix}1&2\\0&3 \end{pmatrix}}$ et ${B=\begin{pmatrix}4&0\\5&6 \end{pmatrix}}$ : ${AB=\begin{pmatrix}14&12\\15&18 \end{pmatrix}}$ et ${BA=\begin{pmatrix}4&8\\5&28 \end{pmatrix}}$ .

R. Une matrice triangulaire particulière

On note ici

{T_{n}}

la matrice strictement triangulaire dont tous les coefficients sont nuls, sauf ceux situés immédiatement au-dessus de la diagonale et qui valent

{1}

.
Les matrices triangulaires

{J=T_{n}}

reviennent souvent.
Le passage de

{A}

au produit

{JA}

revient à « décaler vers le haut » les lignes de

{A}

.
Le passage de

{A}

au produit

{AJ}

revient à « décaler vers la droite » les parallèles à la diagonale de

{A}

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E. Exercices conseillés

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