Réduction (2/4)

Soit {A} une matrice de {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}.

La fonction définie sur {\mathbb{K}} par {x\mapsto\det(x I_{n}-A)} est polynomiale unitaire de degré {n}.

Plus précisément, pour tout {x\in\mathbb{K}} : {\begin{array}{l}\det(xI_{n}\!-\!A)\\[6pt]\qquad=x^{n}\!-\!\text{tr}(A)x^{n-1}\!+\!\cdots\!+\!(-1)^{n}\det(A)\end{array}}On note {\chi_{A}(x)=\det(xI_{n}-A)}, et on l’appelle le polynôme caractéristique de {A}.

Le terme constant de {\chi_{A}} est {\chi_{A}(0)=(-1)^{n}\det(A)}.

Dire que {\chi_{A}(0)\ne0}, c’est dire que {0} n’est pas valeur propre de {A}, ou encore que {A} est inversible.

Si une matrice {A} de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} est diagonale ou triangulaire, alors {\chi_{A}(X)=\prod\limits_{i=1}^{n}(X-a_{i,i})}.

Si {A} est dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}, les matrices {A} et {{A}^{\top}} ont le même polynôme caractéristique.

Si {A} et {B} sont semblables dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}, elles ont le même polynôme caractéristique.

Soit {u\in\mathcal{L}(E)}, où {E} est un {\mathbb{K}}-ev de dimension {n\ge1}.

Le polynôme caractéristique {\chi_{u}} de {u} est celui de la matrice {A} de {u} dans une base quelconque {\mathcal{B}} (cela ne dépend pas de la base choisie).

Pour tout {x} de {\mathbb{K}}, on a donc :{\chi_{u}(x)=\det(xI_{n}-A)=\det(x\,\text{Id}-u)}C’est un polynôme unitaire de degré {n}.

On connaît là encore les coefficients de degré {0} et {n\!-\!1} : {\chi_{u}(X)=X^n-\text{tr}(u)X^{n-1}+\cdots+(-1)^{n}\det(u)}

Cas particulier : le polynôme caractéristique de l’homothétie {u=\lambda\text{Id}} est {\chi_{u}(X)=(X-\lambda)^{n}}.

• Matrice inversible? diagonalisable?
• Polynômes caractéristique et minimal
• Un polynôme caractéristique
• Polynômes caractéristiques de AB et BA
• Polynôme caractéristique de {M^{-1}}
• Avec ou sans polynôme caractéristique?
• Polynômes scindés simples
• Autour du produit de Kronecker
• Spectre de sous-matrices principales