- Événements, probabilités
- Conditionnement et indépendance
- Variables aléatoires
- Couples de variables aléatoires
- Indépendance de variables aléatoires
- Espérance d'une variable aléatoire
- Variance, écart-type
Définition (variance, écart-type)
Soit {\text{X}} une variable aléatoire réelle sur {(\Omega,\mathbb{P})}, avec {\Omega} fini. Posons {m=\text{E}(\text{X})}.
Soit {\text{X}} une variable aléatoire réelle sur {(\Omega,\mathbb{P})}, avec {\Omega} fini. Posons {m=\text{E}(\text{X})}.
La variable positive {\text{Y}=(\text{X}-m)^{2}} mesure la « dispersion » de {\text{X}} autour de {m}.
L’espérance de {\text{Y}}, appelé variance de {\text{X}}, est notée {\text{V}(\text{X})}. Ainsi {\text{V}(\text{X})=\text{E}((\text{X}-\text{E}(\text{X}))^{2})}.
La quantité {\sigma(\text{X})=\sqrt{\text{V}(\text{X})}} est appelée écart-type de la variable aléatoire {\text{X}}.
L’écart-type est justifié pour des raisons d’homogénéité par rapport aux valeurs de {\text{X}}.
{\vartriangleright} Propriétés de la variance et de l’écart-type
- On a la formule de Koenig-Huyghens : {\text{V}(\text{X})=\text{E}(\text{X}^{2})-\text{E}^{2}(\text{X})}
- Pour tous réels {a,b} on a : {\text{V}(a\text{X} +b)=a^{2}\text{V}(\text{X})}, donc {\sigma(a\text{X}+b)=\left|a\right|\sigma(\text{X})}.
- On a toujours {\text{V}(\text{X})\ge0} et on ne peut avoir {\text{V}(\text{X})=0} que si {\text{X}} est « presque constante ».
{\vartriangleright} Variance de lois usuelles
-
Variance d’une loi constante :
Si {\text{X}} est constante, alors {\text{V}(\text{X})=0}. -
Variance d’une variable indicatrice :
Si {\text{X}=\chi_{A}}, alors {\text{V}(\text{X})=\mathbb{P}(A)\,\mathbb{P}(\overline{A})}. -
Variance d’une loi de Bernoulli :
Si {\text{X}\leadsto\mathcal{B}(p)}, alors {\text{V}(\text{X})=pq}. -
Variance d’une loi uniforme :
Si {\text{X}\leadsto\mathcal{U}([[a,b]])} ({n} entiers), {\text{V}(\text{X})=\dfrac{n^{2}-1}{12}}. -
Variance de la loi binomiale :
Si {\text{X}\leadsto\mathcal{B}(n,p)}, alors {\text{V}(\text{X})=npq}.
{\vartriangleright} Covariance de deux variables aléatoires réelles
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