Produits scalaires (1/4)

Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{R}}.
Soit {f} une application de {E\times E} dans {\mathbb{R}}.
On dit que {f:~E\times E\to\mathbb{R}} est un produit scalaire sur {E} si elle vérifie les propriétés suivantes :

• l’application {f} est bilinéaire.
• pour tous vecteurs {u,v} de {E}, on a : {f(u,v)={f(v,u)}} (on dit que {f} est symétrique).
• pour tou vecteur {u} de {E}, on a : {f(u,u)\ge0} (on dit que {f} est positive).
• pour tout vecteur {u} de {E}, on a : {f(u,u)=0\Leftrightarrow u=0} (on dit que {f} est définie).

Rappelons que la bilinéarité s’écrit : {\begin{array}{l}\forall\,(u,u',v,v')\in E^4,\;\forall\, (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2\\[6pts]\begin{cases}f(\alpha u+\beta u',v)=\alpha f(u,v)+\beta f(u',v)\\[6pts]f(u,\alpha v+\beta v')=\alpha f(u,v)+\beta f(u,v')\end{cases}\end{array}}Si le caractère symétrique de {f} est établi, la « linéarité à droite » équivaut à la « linéarité à gauche ».
Un produit scalaire sur {E} est donc une « forme bilinéaire symétrique définie positive ».

Un {\mathbb{R}} espace vectoriel {E} muni d’un produit scalaire est dit préhilbertien réel.
Un espace euclidien est un espace préhilbertien réel de dimension finie.

Plutôt que de noter {f(u,v)}, on note souvent {\lt u,v>}, ou {u\cdot v}, ou {\left(u \mid v\right)}.

Avec la notation {\left({\cdot}\mid{\cdot}\right)}, que nous utiliserons, la définition d’un produit scalaire devient : {\begin{array}{l}\forall\, (u,u',v,v')\in E^4,\ \forall\, (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2\\\\\begin{cases}\left({\alpha u+\beta u'}\mid{v}\right)=\alpha\left(u \mid v\right)+\beta\left({u'}\mid{v}\right)\\[6pts]\left({u}\mid{\alpha v+\beta v'}\right)=\alpha\left(u \mid v\right)+\beta\left({u}\mid{v'}\right)\\[6pts]\left(u \mid v\right)=\left({u}\mid{v}\right)\\[6pts]\left({u}\mid{u}\right)\ge0\ \;\text{et}\;\ \left({u}\mid{u}\right)=0\Leftrightarrow u=0\end{cases}\end{array}}

Soit {u=(x_1,\ldots,x_n)} et {v=(y_1,\ldots,y_n)} deux éléments quelconques de {\mathbb{R}^n}.
{\left(u \mid v\right)=\displaystyle\sum_{k=1}^n\,x_k\,y_k} définit un produit scalaire sur {\mathbb{R}^{n}}.
On l’appelle le produit scalaire canonique de {\mathbb{R}^n}.

Notation matricielle :

si on note {[u]} la matrice-colonne associée à {u\in\mathbb{R}^n}, alors {\left(u \mid v\right)={[u]}^{\top}\,[v]}.

Soit {E={\mathcal C}([a,b],\mathbb{R})} l’espace des fonctions continues de {[a,b]} dans {\mathbb{R}}, avec {a\lt b}.
En posant {\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_a^b f(t)\,g(t)\,\text{d}t}, on définit un produit scalaire sur {E}.