Nombres complexes (5/6)

On appelle racines {n}-ièmes de l’unité les solutions dans {\mathbb{C}} de l’équation {z^{n}=1}.

On note {\mathcal{U}_{n}} l’ensemble des racines {n}-ièmes de l’unité.
Il est formé des {n} nombres complexes distincts {\omega_k=\text{e}^{2ik\pi/n}}, avec {0\le k\le n\!-\!1}.

Si on note {\omega=\omega_1=\text{e}^{2i\pi/n}}, alors {\omega_k=\omega^k}.
Ainsi, avec ces notations : {\mathcal{U}_{n}=\{1,\omega,\omega^2,\ldots,\omega^{n-1}\}}.

• {\mathcal{U}_{1}=\{1\}} et {\mathcal{U}_{2}=\{1,-1\}}.
• {\mathcal{U}_{3}=\{1,j,j^{2}\}}, avec {j=\text{e}^{2i\pi/3}}.
• {\mathcal{U}_{4}=\{1,i,-1,-i\}}.
• {\mathcal{U}_{5}=\{1,\omega,\omega^{2},\omega^{3},\omega^{5}\}}, avec {\omega=\text{e}^{2i\pi/5}}.
• {\mathcal{U}_{6}=\{1,\text{e}^{i\pi/3}=-j^{2},\;j,\;-1,\;j^2,\;-j\}}.

Les points images des racines {n}-ièmes de l’unité forment les {n} sommets d’un polygône régulier convexe inscrit dans le cercle unité, l’un de ces sommets étant le point d’affixe {1}.

• Racines cubiques de l’unité:
  
• Racines quatrièmes de l’unité:
  
• Racines cinquièmes de l’unité:
  

• Le nombre {z=-1} est une racine {n}-ième de l’unité si et seulement si {n} est pair
• Les racines {n}-ièmes de l’unité apparaissent dans : {z^n-1=\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(z-\omega_k)}.
• Si {n\ge2}, la somme des racines {n}-ièmes de l’unité est nulle.
• Considérons l’équation {(E): z^{n-1}+z^{n-2}+\ldots+1=0}d’inconnue {z} dans {\mathbb{C}}.
  Les solutions sont les {n\!-\!1} racines racines {n}-ièmes de l’unité distinctes de {1}.
• Les solutions de {z^{2}+z+1=0} sont {j} et {j^{2}}.
  Pour {j=\text{e}^{2i\pi/3}=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2}, on retiendra :{j^{2}+j+1=0,\quad j^{2}=\dfrac{1}{j}=\overline{j}}

Si {z,z'} sont dans {\mathcal{U}_{n}}, il en est de même de {zz'} et {\overline{z}=\dfrac{1}{z}}.
On exprime ces propriétés (stabilité par le produit et par le passage à l’inverse) en disant de {\mathcal{U}_{n}} qu’il est le « groupe des racines {n}-ièmes de l’unité ».

On a {\mathcal{U}_{n}=\{1,\omega,\omega^2,\ldots,\omega^{n-1}\}}, où {\omega=\text{e}^{2i\pi/n}}.
On exprime cette propriété en disant que {\omega} « engendre » le groupe des racines {n}-ièmes de l’unité. On peut vérifier que les autres « générateurs » de {\mathcal{U}_{n}} sont les {\omega_{k}}, quand {k} est premier avec {n}.