Nombres complexes (1/6)

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Notation cartésienne

P. Deux lois sur &Ropf;²

On munit l’ensemble ${\mathbb{R}^2}$ des deux lois suivantes :
${\begin{array}{l}\forall\,(x,y,x',y')\in\mathbb{R}^4,\\[9pt]\quad\begin{cases}(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')\cr(x,y)(x',y')=(xx'-yy',xy'+ yx')\end{cases}\end{array}}$
On note ${\mathbb{C}}$ l’ensemble ${\mathbb{R}^2}$ muni de ses deux opérations. Les éléments ${z=(x,y)}$ de ${\mathbb{C}}$ sont appelés nombres complexes.
L’application ${\varphi\colon x\mapsto(x,0)}$ est bijective de ${\mathbb{R}}$ sur ${\mathbb{K}=\{(x,0),x\in\mathbb{R}\}}$ .
De plus, pour tous réels ${x,x'}$ , on a : ${\begin{cases}\varphi(x+x')=\varphi(x)+\varphi(x')\\[6pt]\varphi(xx')=\varphi(x)\varphi(x')\end{cases}}$ Cela permet d’identifier algébriquement le couple ${(x,0)}$ et le réel ${x}$ , et donc de considérer que ${\mathbb{R}}$ est une partie de ${\mathbb{C}}$ .
On pose ${i=(0,1)}$ .
Avec les identifications ${(x,0)\sim x}$ on a alors:
${\begin{cases}i^2=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1\\[6pt] z=(x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)z=x+iy\end{cases}}$ et cette dernière écriture de ${z}$ est unique.
On a ainsi obtenu la notation cartésienne (ou algébrique) du nombre complexe z.
Le réel ${x}$ est la partie réelle de ${z}$ et est noté ${\text{Re}(z)}$ .
Le réel ${y}$ , noté ${\text{Im}(z)}$ , est la partie imaginaire de ${z}$ .

R. Le corps (&Copf;+,x)

Soient ${\begin{cases}z=x+iy\\z'=x'+iy'\end{cases}}$ avec ${(x,y,x',y')\in\mathbb{R}^4}$ .
Les opérations sur ${\mathbb{C}}$ s’écrivent maintenant : ${\begin{cases}z+z'=(x+x')+i(y+y')&\cr zz'=(xx'-yy')+i(xy'+y x')&\end{cases}}$
Pour ces deux opérations, l’ensemble ${\mathbb{C}}$ est muni d’une structure de corps commutatif.
Pour tout ${z=(x,y)}$ non nul, l’inverse de ${z}$ est : ${\dfrac 1z=\dfrac x{x^2+y^2}-i\dfrac{y}{x^2+y^2}}$

D. Réels et imaginaires purs

Soit

{z=x+iy\in\mathbb{C}}

(avec

{x,y}

réels).
Dire que

{z}

est réel, c’est dire que sa partie imaginaire

{y=\text{Im}(z)}

est nulle.
On dit que

{z}

est imaginaire pur si

{\text{Re}(z)=0}

, c’est-à-dire si

{z=iy}

, avec

{y}

dans

{\mathbb{R}}

R. Identifications dans &Copf;

Soient

{\begin{cases}z=x+iy\cr z'=x'+iy'\end{cases}}

dans

{\mathbb{C}}

, avec

{(x,y,x',y')\in\mathbb{R}^4}

.
On sait que

{z=z'\Leftrightarrow(x=x'\;\text{et}\;y=y')}

(c’est l’identification des parties réelles et imaginaires)
En particulier :

{z=0\Leftrightarrow x=y=0}

(bien s’assurer que

{x}

{y}

sont réels!).

Plus généralement, soit ${\omega}$ un nombre complexe non réel.
Alors tout ${z}$ de ${\mathbb{C}}$ s’écrit encore façon unique ${z=a+b\omega}$ , avec ${a,b}$ dans ${\mathbb{R}}$ .
On peut donc encore identifier :
${\begin{array}{rl}\forall\,(x,y,x',y')\in\mathbb{R}^4,&\;x+\omega y=x'+\omega y'\\[3pt]&\Leftrightarrow x=x'{\;\text{et}\;}y=y'\end{array}}$

R. Puissances du nombre i

On constate que

{i^2=-1}

. Donc

{\dfrac1i=-i}

.
En fait,

{z^2=-1\Leftrightarrow z\in\{i,-i\}}

.
Plus généralement

{i^3=-i}

, et

{i^4=1}

.
La suite

{n\mapsto i^{n}}

est donc 4-périodique.

E. Exercices conseillés

Petits calculs dans ℂ

Plan complexe. Affixe.

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Conjuguaison dans ℂ

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Transformation du plan complexe

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