Nombres complexes (1/6)

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Notation cartésienne

P. Deux lois sur ℝ2

  • On munit l’ensemble {\mathbb{R}^2} des deux lois suivantes :
    {\begin{array}{l}\forall\,(x,y,x',y')\in\mathbb{R}^4,\\[9pt]\quad\begin{cases}(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')\cr(x,y)(x',y')=(xx'-yy',xy'+ yx')\end{cases}\end{array}}
  • On note {\mathbb{C}} l’ensemble {\mathbb{R}^2} muni de ses deux opérations. Les éléments {z=(x,y)} de {\mathbb{C}} sont appelés nombres complexes.
  • L’application {\varphi\colon x\mapsto(x,0)} est bijective de {\mathbb{R}} sur {\mathbb{K}=\{(x,0),x\in\mathbb{R}\}}.
    De plus, pour tous réels {x,x'}, on a :{\begin{cases}\varphi(x+x')=\varphi(x)+\varphi(x')\\[6pt]\varphi(xx')=\varphi(x)\varphi(x')\end{cases}}Cela permet d’identifier algébriquement le couple {(x,0)} et le réel {x}, et donc de considérer que {\mathbb{R}} est une partie de {\mathbb{C}}.
  • On pose {i=(0,1)}.
    Avec les identifications {(x,0)\sim x} on a alors:
    {\begin{cases}i^2=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1\\[6pt] z=(x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)z=x+iy\end{cases}}et cette dernière écriture de {z} est unique.
  • On a ainsi obtenu la notation cartésienne (ou algébrique) du nombre complexe z.
    Le réel {x} est la partie réelle de {z} et est noté {\text{Re}(z)}.
    Le réel {y}, noté {\text{Im}(z)}, est la partie imaginaire de {z}.

R. Le corps (ℂ+,x)

  • Soient {\begin{cases}z=x+iy\\z'=x'+iy'\end{cases}} avec {(x,y,x',y')\in\mathbb{R}^4}.
    Les opérations sur {\mathbb{C}} s’écrivent maintenant : {\begin{cases}z+z'=(x+x')+i(y+y')&\cr zz'=(xx'-yy')+i(xy'+y x')&\end{cases}}
  • Pour ces deux opérations, l’ensemble {\mathbb{C}} est muni d’une structure de corps commutatif.
  • Pour tout {z=(x,y)} non nul, l’inverse de {z} est : {\dfrac 1z=\dfrac x{x^2+y^2}-i\dfrac{y}{x^2+y^2}}

D. Réels et imaginaires purs
Soit {z=x+iy\in\mathbb{C}} (avec {x,y} réels).
Dire que {z} est réel, c’est dire que sa partie imaginaire {y=\text{Im}(z)} est nulle.
On dit que {z} est imaginaire pur si {\text{Re}(z)=0}, c’est-à-dire si {z=iy}, avec {y} dans {\mathbb{R}}.
R. Identifications dans ℂ
Soient {\begin{cases}z=x+iy\cr z'=x'+iy'\end{cases}} dans {\mathbb{C}}, avec {(x,y,x',y')\in\mathbb{R}^4}.
On sait que {z=z'\Leftrightarrow(x=x'\;\text{et}\;y=y')} (c’est l’identification des parties réelles et imaginaires)
En particulier : {z=0\Leftrightarrow x=y=0} (bien s’assurer que {x} et {y} sont réels!).

Plus généralement, soit {\omega} un nombre complexe non réel.
Alors tout {z} de {\mathbb{C}} s’écrit encore façon unique {z=a+b\omega}, avec {a,b} dans {\mathbb{R}}.
On peut donc encore identifier :
{\begin{array}{rl}\forall\,(x,y,x',y')\in\mathbb{R}^4,&\;x+\omega y=x'+\omega y'\\[3pt]&\Leftrightarrow x=x'{\;\text{et}\;}y=y'\end{array}}

R. Puissances du nombre i
On constate que {i^2=-1}. Donc {\dfrac1i=-i}.
En fait, {z^2=-1\Leftrightarrow z\in\{i,-i\}}.
Plus généralement {i^3=-i}, et {i^4=1}.
La suite {n\mapsto i^{n}} est donc 4-périodique.
E. Exercices conseillés

Plan complexe. Affixe.

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Conjuguaison dans ℂ

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Transformation du plan complexe

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