Petits calculs dans ℂ

Exercices corrigés


Exercice 1.
Mettre chacun des nombres complexes sous la forme {a+ib} avec {a,b} réels : {\begin{array}{cc}z=-\displaystyle\dfrac{2}{1-i\sqrt{3}}\quad&\quad u=\displaystyle\dfrac{1}{(1+2i)(3-i)}\\\\v=\displaystyle\dfrac{1+2i}{1-2i}\quad&\quad w=\displaystyle\dfrac{5+i\sqrt{2}}{1+i}\end{array}}
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Exercice 2.
Mettre sous forme cartésienne les nombres complexes:
{\begin{array}{rl}a&=\dfrac{2+5i}{1-i}+\dfrac{2-5i}{1+i},\quad b=\dfrac{3+6i}{3-4i}\\\\c&=\Bigl(\dfrac{1+i}{2-i}\Bigr)^2+\dfrac{1-7i}{4+3i}\end{array}}
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Exercice 3.
Quand {Z=z^2+z+1} est-il réel? Imaginaire pur?
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Exercice 4.
Résoudre {\begin{cases}iz-2\omega=-4+3i\\2\bar\omega+\bar z=3\end{cases}} dans {\mathbb{C}}.
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Exercice 5.
Soit {z\in \mathbb{C}} tel que {|z|\leq 1}. Prouver que {\text{Re}(z^{2}+4z+3)\geq 0}.
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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.