Exponentielle complexe

Plan du chapitre "Nombres complexes"

Définition (la fonction exponentielle complexe)
Soit

{z=x+iy}

(avec

{x,y}

dans

{\mathbb{R}}

) un nombre complexe.
On pose

{\exp(z)=\text{e}^x\,\text{e}^{iy}}

, quantité également notée

{\text{e}^{z}}

.
On définit ainsi une application

{z\mapsto \exp(z)}

{\mathbb{C}}

dans

{\mathbb{C}}

, appelée exponentielle complexe.

La restriction à ${\mathbb{R}}$ de la fonction ${z\to\exp(z)}$ est l’exponentielle réelle déjà connue.
De même, sa restriction aux imaginaires purs est l’application ${i\theta\to\text{e}^{i\theta}}$ définie précédemment.
Pour tout complexe ${z=x+iy}$ (avec ${x,y\in\mathbb{R}}$ ) on a, par définition :
${\begin{cases}\left|{\exp(z)}\right|=\text{e}^{x}&\cr\arg(\exp(z))=y~[2\pi]&\end{cases}}$
En particulier, ${\exp(z)}$ n’est jamais nul.
On note également que, pour tout ${z}$ de ${\mathbb{C}}$ , on a : ${\exp(\overline{z})=\overline{\exp(z)}}$ .
On constate l’équivalence: ${\exp(z)=1\Leftrightarrow\exists\, k\in\mathbb{Z}}$ tel que ${z=2ik\pi}$ .

Proposition (relation fonctionnelle fondamentale)
Pour tous nombres complexes

{z}

{z'}

, on a l’égalité:

{\exp(z+z')=\exp(z)\,\exp(z')}

.
On en déduit que, pour tout

{z}

{\mathbb{C}}

{\exp(z)}

est non nul et

{\dfrac 1{\exp (z)}=\exp(-z)}

Proposition (périodicité de la fonction exponentielle complexe)
On a l’équivalence:

{\exp(z)=\exp(z')\Leftrightarrow z\equiv z'\;(2i\pi)}

.
L’application exponentielle

{z\mapsto\exp(z)}

est donc périodique de période

{2i\pi}

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