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- Espérance d'une variable aléatoire
- Variance, écart-type
Espérance d’une variable aléatoire réelle
Définition (espérance d'une variable aléatoire réelle)
Soit {\text{X}:\Omega\to E} une variable aléatoire réelle sur {(\Omega,\mathbb{P})}, avec {\Omega} un ensemble fini.
La quantité {\text{E}(\text{X})=\displaystyle\sum_{x\in \text{X}(\Omega)}\mathbb{P}(\text{X}=x)\,x} est appelée espérance de la variable aléatoire réelle {\text{X}}.
Soit {\text{X}:\Omega\to E} une variable aléatoire réelle sur {(\Omega,\mathbb{P})}, avec {\Omega} un ensemble fini.
La quantité {\text{E}(\text{X})=\displaystyle\sum_{x\in \text{X}(\Omega)}\mathbb{P}(\text{X}=x)\,x} est appelée espérance de la variable aléatoire réelle {\text{X}}.
- {\text{E}(\text{X})} est la moyenne pondérée des valeurs {x} que la variable {\text{X}} est susceptible de prendre, le poids affecté à chacune de ces valeurs {x} étant la probabilité de l’événement {(\text{X}=x)}.
-
Plutôt que de sommer sur les valeurs {x} de {\text{X}(\Omega)}, on peut sommer sur les résultats élémentaires {\omega}.
On obtient alors la relation : {\text{E}(\text{X})=\displaystyle\sum_{\omega\in \Omega}\mathbb{P}(\{\omega\})\,\text{X}(\omega)}.
{\vartriangleright} Espérance de lois usuelles
-
Espérance d’une loi constante :
Si {\text{X}} est constante, de valeur {a}, alors {\text{E}(\text{X})=a}. -
Espérance d’une variable indicatrice :
Si {\text{X}} est l’indicatrice de {A}, alors {\text{E}(\text{X})=\mathbb{P}(A)}. -
Espérance d’une loi de Bernoulli :
Si {\text{X}} suit la loi de Bernoulli {\mathcal{B}(p)}, alors {\text{E}(\text{X})=p}. -
Espérance d’une loi uniforme :
Si {\text{X}\leadsto\mathcal{U}_{[[ a,b]]}}, alors {\text{E}(\text{X})=\dfrac{a+b}{2}}. -
Espérance de la loi binomiale :
Si {\text{X}\leadsto\mathcal{B}(n,p)}, alors {\text{E}(\text{X})=np}.
{\vartriangleright} Théorème du transfert
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