Espaces euclidiens (1/3)

    ℹ️        2    3

Isométries d’un espace euclidien

D. Automorphismes orthogonaux
Soit {E} un espace euclidien. Soit {u\in\mathcal{L}(E)}.
On dit que {u} est une isométrie vectorielle (ou encore : un automorphisme orthogonal) si {u} « conserve la norme », c’est-à-dire si : {\forall\, x\in E,\;\left\|u(x)\right\|=\left\|x\right\|}.
R. Premières remarques

  • Les expressions « isométrie vectorielle » et « automorphisme orthogonal » sont synonymes.
    Toute isométrie vectorielle {u} de {E} est effectivement un automorphisme!
  • Les applications {\text{Id}} et {-\text{Id}} sont des automorphismes orthogonaux de {E}. Plus généralement, si {u} est un automorphisme orthogonal, il en est de même de {-u}.
  • Les deux valeurs propres possibles d’un automorphisme orthogonal sont {1} et {-1}.
  • L’application {(x,y)\mapsto(-y,x)} est une isométrie de {\mathbb{R}^{2}} et n’a pas de valeur propre.

P. Caractérisation des isométries
Soit {E} un espace euclidien. Soit {u\in\mathcal{L}(E)}.
Les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1. l’application {u} est une isométrie vectorielle (c’est-à-dire : elle conserve la norme).
  2. l’application {u} conserve le produit scalaire : {\forall\, (x,y)\in E^2,\;\left(u(x)\mid u(y)\right)=\left(x\mid y\right)}
  3. l’application {u} transforme toute base orthonormale de {E} en une base orthonormale de {E}.
  4. l’application {u} transforme une base orthonormale de {E} en une base orthonormale de {E}.

D. Groupe orthogonal d'un ev euclidien
Soit {E} un espace euclidien. On note {O(E)} l’ensemble des automorphismes orthogonaux de {E}.
Alors {O(E)} est un groupe pour la loi {\circ}, appelé groupe orthogonal de {E}.
P. Orthogonal d’un sous-espace stable
Soit {E} un espace euclidien. Soit {u\in O(E)}.
Soit {F} un sous-espace vectoriel de {E}. Si {F} est stable par {u}, alors {u(F)=F} et {u(F^{\bot})=F^{\bot}}.
La restriction de {u} à {F} (resp. à {F^{\bot}}) est donc une isométrie vectorielle de {F} (resp. de {F^{\bot}}).
R. Rappels sur la stabilité

  1. a) la phrase «{F} est stable par {u}» signifie seulement l’inclusion {u(F)\subset F}
  2. b) l’égalité {u(F)=F} se traduit par la phrase «{F} est (globalement) invariant par {u}»
  3. c) on dira que {F} est «invariant point par point» si {\forall\, x\in F,\;u(x)=x}

On a bien sûr les implications {c)\Rightarrow b)\Rightarrow a)} mais les réciproques sont fausses en général.

R. Symétries et projections orthogonales

  • Une symétrie vectorielle orthogonale est un automorphisme orthogonal.
  • Une projection orthogonale {p} n’est pas un automorphisme orthogonal, sauf si {p=\text{Id}}.
  • Plus précisément, si {p} est la projection orthogonale sur un sous-espace {F}, alors {\left\|p(x)\right\|\le\left\|x\right\|}, avec égalité si et seulement si {x} est dans {F} (c’est l’inégalité de Bessel).

Matrices orthogonales

Pour ce contenu, il faut avoir souscrit à mathprepa

Endomorphismes symétriques

Pour ce contenu, il faut avoir souscrit à mathprepa

Le théorème spectral

Pour ce contenu, il faut avoir souscrit à mathprepa
        2    3