Espaces euclidiens (3/3)

Les matrices orthogonales d’ordre {2} et de déterminant {1} sont les {R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\cr\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}}
Les matrices orthogonales d’ordre {2} et de déterminant {-1} sont les {S(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\cr\sin\theta&-\cos\theta\end{pmatrix}}

On se place dans un plan euclidien {E_{2}}, muni d’une base orthonormée {\mathcal{B}=(e_{1},e_{2})}.
Soit {r_{\theta}} (resp. {s_{\theta}}) l’isométrie de matrice {R(\theta)} (resp. {S(\theta))} dans {\mathcal{B}}.
À tout vecteur {u=xe_{1}+ye_{2}}, on associe {U=\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\in{\mathcal M}_{2,1}(\mathbb{R})}, et {z=x+iy\in\mathbb{C}}.

Soit {u,u'} dans {E_{2}}, d’affixes respectives {z,z'}. Posons {U=\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}} et {U'=\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}}
Alors on a les équivalences : {\begin{cases}u'=r_{\theta}(u)\Leftrightarrow U'=R(\theta)U\Leftrightarrow z'=\text{e}^{i\theta}z\\[3pt] u'=s_{\theta}(u)\Leftrightarrow U'=S(\theta)U\Leftrightarrow z'=\text{e}^{i\theta}\,\overline{z}\end{cases}}

Les matrices {R(\theta)} sont appelées matrices de rotation (voir plus loin).
Pour tous réels {\theta,\varphi}, on a : {R(\theta)R(\varphi)=R(\varphi)R(\theta)=R(\theta+\varphi)}On retiendra que le groupe {SO(2)} est commutatif (c’est faux pour {SO(n)} si {n\ge3}).

On a {R(0)=I_2} et : {\forall\,\theta\in\mathbb{R},\;R(\theta)^{-1}=R(-\theta)}.
Pour tous réels {\theta,\varphi} : {R(\theta)=R(\varphi)\Leftrightarrow\theta\equiv\varphi\;[2\pi]}.

Pour tous {\theta,\varphi}, on a : {S(\theta)S(\varphi)=R(\theta-\varphi)}.
Pour tout réel {\theta}, on a : {S(\theta)^{-1}={S(\theta)}^{\top}=S(\theta)\;\text{donc}\;S(\theta)^{2}=I_{2}}Pour tous réels {\theta} et {\varphi}, on a :{R(\theta)S(\varphi)=S(\varphi+\theta)\;\text{et}\;S(\varphi)R(\theta)=S(\varphi-\theta)}