Espaces euclidiens (2/3)

Soit {\mathcal{B}} et {\mathcal{B}'} deux bases orthonormales de {E_{n}}.
Soit {P} la matrice de passage de {\mathcal{B}} à {\mathcal{B}'} : {P} est orthogonale, donc {\det(P)\in\{-1,1\}}.

Si {\det(P)=1} (donc si {P\in SO(n)}) on dit que la base {\mathcal{B}} a la même orientation que la base {\mathcal{B}'}.
On définit ainsi une relation d’équivalence sur l’ensemble des bases orthonormales de {E_{n}}.

Il y a exactement deux classes d’équivalence.
Orienter {E_{n}}, c’est choisir l’une de ces deux classes.

• les bases de la classe d’équivalence choisie sont dites bases orthonormales directes.
• les bases de l’autre classe d’équivalence sont dites bases orthonormales indirectes.

En résumé : il y a toujours deux orientations possibles sur {E_{n}} : le choix de la classe des bases directes est arbitraire. Néanmoins on orientera toujours {\mathbb{R}^{n}} en décrétant que sa base canonique est directe.

Soit {\mathcal{B}} une base orthonormale dans l’espace vectoriel euclidien {E_{n}} orienté.

• si on passe de {\mathcal{B}} à {\mathcal{B}'} par échange de deux vecteurs, {\mathcal{B}} et {\mathcal{B}'} sont d’orientation contraire
• Idem si on passe de {\mathcal{B}} à {\mathcal{B}'} en changeant un vecteur en son opposé.

Par exemple, soit {(u,v)} une base orthonormale directe de {E_{2}} orienté.

• les bases {(-u,v)}, {(u,-v)}, {(v,u)} et {(-v,-u)} sont orthonormales indirectes.
• les bases {(-u,-v)}, {(v,-u)}, et {(-v,u)} sont orthonormales directes.

De même, soit {(u,v,w)} une base orthonormale directe de {E_{3}} orienté.

• les bases {(v,u,w)}, {(w,v,u)}, {(u,w,v)} sont orthonormales indirectes.
• les bases {(u,-v,-w)}, {(-u,v,-w)}, et {(-u,-v,w)} sont orthonormales directes.
• {(-u,v,w)}, {(u,-v,w)}, {(u,v,-w)}, {(-u,-v,-w)} sont orthonormales indirectes.
• les bases {(v,w,u)}, {(w,u,v)} sont orthonormales directes, etc.