Couples de variables aléatoires

Plan du chapitre "Probabilités"

Couples de variables aléatoires

Proposition (couples de deux variables aléatoires)
Soient

{\text{X}:\Omega\to E}

{\text{Y}:\Omega\to F}

deux variables aléatoires sur un univers fini

{\Omega}

.
On définit une variable aléatoire

{\text{Z}:\Omega\to E\times F}

en posant :

{\forall\,\omega\in\Omega,\;\text{Z}(\omega)=(\text{X}(\omega),\text{Y}(\omega))}

La proposition précédente admet une réciproque :

Proposition (composantes d'une variable aléatoire à valeurs dans ExF)
Soit

{\Omega}

un univers fini. Soit

{\text{Z}:\Omega\to E\times F}

une variable aléatoire.
Soient

{\text{X}}

{\text{Y}}

les composantes de

{\text{Z}}

, définies par :

{\forall\, \omega\in\Omega,\;\text{Z}(\omega)=(\text{X}(\omega),\text{Y}(\omega))}

.
Alors les applications

{\text{X}:\Omega\to E}

{\text{Y}:\Omega\to F}

sont des variables aléatoires.

Définition (couple de variables aléatoires)
Soit

{\Omega}

un univers fini.
Dans les propositions précédentes, on dit que

{\text{Z}=(\text{X},\text{Y})}

est un couple de variables aléatoires.

On retiendra qu’il importe peu que

{\text{X},\text{Y}}

préexistent à

{\text{Z}}

ou au contraire s’en déduisent.

On remarquera également que ${\text{Z}(\Omega)}$ est une partie (souvent stricte) de ${\text{X}(\Omega)\times \text{Y}(\Omega)}$ .

Pour tout ${(x,y)}$ de ${\text{X}(\Omega)\times \text{Y}(\Omega)}$ , l’événement ${(\text{Z}=(x,y))}$ sera noté ${(\text{X}=x,\text{Y}=y)}$ .

${\vartriangleright}$ Combinaisons linéaires de variables aléatoires réelles

Soit ${\text{Z}=(\text{X},\text{Y})}$ un couple de variables aléatoires réelles.

Pour tous scalaires ${\lambda,\mu}$ , l’application ${\lambda \text{X}+\mu \text{Y}}$ est une variable aléatoire réelle.

Il suffit en effet d’appliquer à ${\text{Z}=(\text{X},\text{Y})}$ la fonction ${\varphi}$ définie sur ${\mathbb{R}^{2}}$ par ${\varphi(x,y)=\lambda x+\mu y}$ .

L’ensemble des variables aléatoires réelles sur ${\Omega}$ est donc un ${\mathbb{R}}$ -espace vectoriel.
Remarque : pour des raisons similaires, l’application ${\text{X}\text{Y}}$ est une variable aléatoire réelle sur ${\Omega}$ .

${\vartriangleright}$ Vecteurs aléatoires

On peut généraliser ce qui précède à une application de ${\Omega}$ dans un produit cartésien ${F_{1}\times\cdots\times F_{n}}$ .

Si on note ${\text{Z}=(\text{X}_{1},\ldots,\text{X}_{n})}$ , dire que ${\text{Z}}$ est une variable aléatoire sur ${\Omega}$ équivaut à dire que chacune des applications ${\text{X}_{i}:\Omega\to F_{i}}$ est une variable aléatoire.

On dit alors que ${\text{Z}}$ est un vecteur de variables aléatoires.

On peut aussi définir une variable aléatoire fonction ${\varphi(\text{X}_{1},\text{X}_{2},\ldots,\text{X}_{n})}$ des ${n}$ variables aléatoires ${\text{X}_{i}}$ .

Loi conjointe, loi marginale, loi conditionnelle

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