Polynômes annulateurs

On trouvera ici les exercices corrigés de mathprepa.fr (chapitre « Réduction des endomorphismes ») dans la catégorie « Polynômes annulateurs ».

Un polynôme caractéristique

(Oral Tpe)
Déterminer

\chi_{A}

pour

{A\in\text{G}L_5(\mathbb{R})}

, sachant que

{\text{tr}(A)=2}

{A^3+A^2=2A}

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

avec

{A^3+A^2+A+I_n=0}

. Montrer que

{\text{tr}(A)\leq 0}

(Oral Tpe)
Soit

{A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

vérifiant :

{A^2+A+4I_n=0}

.
Calculer le déterminant et la trace de

{A}

en fonction de

n

(Oral Ensam)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

telle que

{A^3+A-I_n=0}

. Montrer que

{\det(A)>0}