Limites, continuité 2

Exercices corrigés sur le thème « Limites et continuité », posés aux concours (Polytechnique, Ens, Mines-Ponts, Centrale, Inp, Ensam, etc.)

Primitives et limites comparées

(Mines-Ponts)
Soit

{f\in \mathcal{C}^{0}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}

. Pour

{x\in \mathbb{R}^{+}}

, on pose :

{F(x)=\!\displaystyle\int_{0}^{x}\!\!f(t)\text{d}t\;\text{et}\;g(x)\!=\!f(x)\!+\!F(x)}

On suppose que

{f}

a une limite finie en

{+\infty }

.
En est-il de même de

{F}

?
On suppose que

{F}

a une limite finie en

{+\infty }

.
En est-il de même de

{f}

?
On suppose que

{g}

a une limite finie en

{+\infty }

.
Déterminer la limite de

{f}

{+\infty }

(Oral Centrale)
Soit

{f\colon\mathbb{R}\in\mathbb{R}}

telle que :

{\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^{2},\;f(x+y)=f(x)+f(y)}

Déterminer

{f(0)}

. Pour

{x\in\mathbb{R}}

{\lambda\in\mathbb{Q}}

, exprimer

{f(\lambda x)}

en fonction de

{f(x)}

.
On suppose

{f}

continue en

{0}

. Montrer que

{f}

est continue sur

{\mathbb{R}}

. Dans ce cas, déterminer

{f}

.
Idem avec

{f}

bornée au voisinage de

{0}

(oral Mines-Ponts)
Soient

{f}

{g}

deux fonctions continues sur

{\mathbb{R}}

, avec

{f\circ g}

décroissante.
Montrer que

{f\circ g}

{g\circ f}

admettent un unique point fixe.