Limites, continuité 2

Exercices corrigés

Primitives et limites comparées

(Mines-Ponts)
Soit {f\in \mathcal{C}^{0}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})} . Pour {x\in \mathbb{R}^{+}}, on pose : {F(x)=\!\displaystyle\int_{0}^{x}\!\!f(t)\text{d}t\;\text{et}\;g(x)\!=\!f(x)\!+\!F(x)}On suppose que {f} a une limite finie en {+\infty }.
En est-il de même de {F}?
On suppose que {F} a une limite finie en {+\infty }.
En est-il de même de {f}?
On suppose que {g} a une limite finie en {+\infty }.
Déterminer la limite de {f} en {+\infty }.

Fonctions additives bornées à l’origine

(Oral Centrale)
Soit {f\colon\mathbb{R}\in\mathbb{R}} telle que : {\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^{2},\;f(x+y)=f(x)+f(y)}Déterminer {f(0)}. Pour {x\in\mathbb{R}} et {\lambda\in\mathbb{Q}}, exprimer {f(\lambda x)} en fonction de {f(x)}.
On suppose {f} continue en {0}. Montrer que {f} est continue sur {\mathbb{R}}. Dans ce cas, déterminer {f}.
Idem avec {f} bornée au voisinage de {0}.