Calculs algébriques 2

Exercices corrigés sur le thème « Calculs algébriques », posés aux concours (Polytechnique, Ens, Mines-Ponts, Centrale, Inp, Ensam, etc.)

Relations entre sommes harmoniques

(Oral Centrale). On établit des relations entre des

{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{P(k)}{k}}

, où

{P}

est un polynôme.

Huit exercices sur les questions (pas toujours évidentes) relatives aux racines des polynômes du second degré et à leurs propriétés

(Oral Mines-Ponts 2018)
On observe les égalités:

{9\times 1+2=11,\;9\times12+3=111,\;9\times 123+4=1111}

Quelle généralisation peut-on imaginer ? Démontrer cette conjecture.

Existence et signe des racines réelles de trinômes à paramètre.

Soit

a,b

dans

{\mathbb{R}^+}

. Résoudre

{(S)\begin{cases}x+y+z=a\\x^2+y^2+z^2=b^2\\xy=z^2\end{cases}}

dans

{\mathbb{R}}

Soient

{p,q\in\mathbb{N}}

. Montrer que :

{\displaystyle\sum_{k=p}^{q}\displaystyle\binom{k}{p}=\displaystyle\binom{q+1}{p+1}}