Calculs algébriques (1/3)

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Les ensembles de nombres

R. Ensembles ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ
Conformément au programme, on admet l’existence et les principales propriétés des ensembles de nombres suivants :

  • l’ensemble {\mathbb{N}} des entiers naturels.
  • l’ensemble {\mathbb{Z}} des entiers relatifs.
  • l’ensemble {\mathbb{Q}} des nombres rationnels.
  • l’ensemble {\mathbb{R}} des nombres réels.
  • l’ensemble {\mathbb{C}} des nombres complexes.

On a bien sûr : {\mathbb{N}\varsubsetneq\mathbb{Z}\varsubsetneq\mathbb{Q}\varsubsetneq\mathbb{R}\varsubsetneq\mathbb{C}}.

On sera également amené à considérer les ensembles suivants (dont les noms ne sont pas fixés par l’usage, mais dont la signification est connue) : l’ensemble {\mathbb{P}} des nombres premiers, l’ensemble {\mathbb{D}} des nombres décimaux, l’ensemble {\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}} des nombres irrationnels.

P. Propriétés de l'addition dans ℂ
L’ensemble {\mathbb{C}} est muni d’une addition avec les propriétés suivantes :

  • La loi {+} est commutative : {\forall\,(x,y)\in\mathbb{C}^2,\;x+y=y+x}
  • La loi {+} est associative : {\forall\,(x,y,z)\in\mathbb{C}^3,\;x+(y+z)=(x+y)+z}
  • L’entier naturel {0} est élément neutre : {\forall\, x\in\mathbb{C},\;x+0=x}
  • Tout {x} de {\mathbb{C}} possède un opposé (noté {-x}), donc tel que {x+(-x)=0};
    La notation {x-y} doit être comprise comme une contraction de {x+(-y)}.

R. Remarques sur la stabilité

  • On note {\mathbb{N}^{*},\mathbb{Z}^{*},\mathbb{Q}^{*},\mathbb{R}^{*},\mathbb{C}^{*}} les ensembles {\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}} privés de l’entier {0}.
  • Chacun des ensembles {\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}} est stable pour la loi {+} et (sauf bien sûr {\mathbb{N}}) pour le passage à l’opposé donc pour la différence.
  • Si {x\in\mathbb{Q}} et {y\notin\mathbb{Q}}, alors {x+y\notin\mathbb{Q}}

P. Propriétés du produit dans ℂ
L’ensemble {\mathbb{C}} est muni d’un produit (noté par juxtaposition), avec les propriétés suivantes :

  • Commutativité : {\forall\,(x,y)\in\mathbb{C}^2,\;xy=yx}
  • Associativité : {\forall\,(x,y,z)\in\mathbb{C}^3,\;x(yz)=(xy)z}
  • {1} est élément neutre : {\forall\, x\in\mathbb{C},\;1x=x}
  • Distributivité par rapport à l’addition : {\forall\,(x,y,z)\in\mathbb{C}^3,\;x(y+z)=xy+xz}
  • Tout {x\in\mathbb{C}^*} a un inverse (noté {1/x}).

Sommes et produits finis

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Quelques résultats classiques

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