Arithmétique des entiers (1/4)

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Divisibilité dans {\mathbb{Z}}

D. Diviseur, multiple
Soient {a} et {b} deux entiers relatifs. On dit que {b} divise {a}, ou encore {b} est un diviseur de {a}, ou encore {a} est divisible par {b}, ou encore {a} est un multiple de {b}, s’il existe {q} dans {\mathbb{Z}} tel que {a=qb}. On note alors {b\mid a}.
D. Ensemble D(n) des diviseurs de n
Pour tout {n} de {\mathbb{Z}}, on note {n\mathbb{Z}=\{qn,\,q\in\mathbb{Z}\}} l’ensemble des multiples de {n}.
On note {\mathcal{D}(n)} l’ensemble des diviseurs de {n} dans {\mathbb{Z}}.
L’ensemble {\mathcal{D}(n)\cap \mathbb{N}} est donc l’ensemble des diviseurs positifs ou nuls de {n}.
Pour tous {a,b} dans {\mathbb{Z}}, on a les équivalences : {\;b\mid a\Leftrightarrow a\in b\mathbb{Z}\Leftrightarrow b\in\mathcal{D}(a)}.
R. Remarques sur la divisibilité
En écrivant {a\mid b}, on définit une relation binaire sur l’ensemble {\mathbb{Z}}.
Cette relation est réflexive (on a toujours {a\mid a}) et transitive (si {a\mid b} et {b\mid c}, alors {a\mid c}).
Mais ce n’est pas une relation d’ordre car elle n’est pas antisymétrique.
Plus précisément, on a l’équivalence : {(a\mid b \;\text{et}\; b\mid a)\Leftrightarrow a=\pm\, b}.

En revanche, la restriction de la relation de divisibilité à {\mathbb{N}} est une relation d’ordre (partiel).

On dit de deux entiers relatifs qui se divisent mutuellement (c’est-à-dire : qui sont égaux ou opposés, ou encore : qui ont la même valeur absolue) qu’ils sont associés.
On retiendra que deux entiers associés ont exactement les mêmes propriétés par rapport à la relation de divisibilité (et c’est la raison pour laquelle on choisira souvent celui des deux qui est positif).

R. Quelques cas particuliers

  • La notation {2\mathbb{Z}} désigne l’ensemble des entiers pairs, et on a {\mathcal{D}(2)=\{-2,-1,1,2\}}.

    De même {\begin{cases}\begin{array}{rl}12\mathbb{Z}&=\{12\,k,\;k\in\mathbb{Z}\}\\[6pts]&=\{\cdots,\!-36,\!-24,\!-12,\!0,\!12,\!24,\!36,\cdots\}\end{array}\\[9pts]\mathcal{D}(12)\!=\!\{-12,\!-6,\!-4,\!-3,\!-2,\!-1,1,2,3,4,6,12\}\end{cases}}

    Ou encore {\begin{cases}\begin{array}{rl}13\mathbb{Z}&=\{13\,k,\;k\in\mathbb{Z}\}\\&=\{\cdots,\!-39,\!-26,\!-13,\!0,\!13,\!26,\!39,\cdots\}\end{array}\\\mathcal{D}(13)=\{-13,-1,1,13\}\end{cases}}

  • L’entier {0} est multiple de tout entier {b} (car {0=0b}), ou encore : tout entier {b} divise {0}.
    En revanche, {0} ne divise que lui-même car {a=q0\Rightarrow a=0} (le seul multiple de {0} est {0}).
    On peut donc écrire : {\mathcal{D}(0)=\mathbb{Z}}, et {0\mathbb{Z}=\{0\}}.
  • Les entiers {1} et {-1} divisent tout entier {a} (considérer {a=a1=(-a)(-1)}).
    Ainsi tout entier est multiple de {1} et {-1}. On peut donc écrire : {1\mathbb{Z}=(-1)\mathbb{Z}=\mathbb{Z}}.
    Les seuls diviseurs de {-1} et {1} sont {-1} et {1} eux-mêmes : {\mathcal{D}(1)=\mathcal{D}(-1)=\{-1,1\}}.

R. Propriétés des ensembles D(n) et nℤ

  • {\mathcal{D}(n)\cap\mathbb{N}} est l’ensemble des diviseurs positifs ou nuls de {n}.
  • Les ensembles {\mathcal{D}(n)} et {n\mathbb{Z}} ne sont jamais vides, car ils contiennent {n}.
    Les ensembles {\mathcal{D}(n)} et {n\mathbb{Z}} sont tous deux symétriques par rapport à l’origine.
    Si {n\ne0} : l’ensemble {\mathcal{D}(n)} est inclus dans {[[-n,n]]} donc est fini; en revanche {n\mathbb{Z}} est infini.
  • Pour tous entiers relatifs {a,b}, on a : {\;a\mathbb{Z}\subset b\mathbb{Z}\Leftrightarrow b\mid a\Leftrightarrow\mathcal{D}(b)\subset\mathcal{D}(a)}.
    On en déduit : {\;a\mathbb{Z}=b\mathbb{Z}\Leftrightarrow|\,a\,|=|\,b\,|\Leftrightarrow\mathcal{D}(a)=\mathcal{D}(b)}.
    Les égalités {(-n)\mathbb{Z}=n\mathbb{Z}} et {\mathcal{D}(-n)=\mathcal{D}(n)} font qu’on se limite souvent à {n\ge0}.
  • Si {a,b} sont dans {n\mathbb{Z}}, et si {u,v} sont dans {\mathbb{Z}}, alors {au+bv} est dans {n\mathbb{Z}}.
    C’est faux pour {\mathcal{D}(n)} : par exemple {3} et {5} sont dans {\mathcal{D}(15)} mais pas {3+5}.

R. Ordre naturel et divisibilité dans ℕ

  • On sait que {\mathbb{N}} est muni de sa relation d’ordre naturelle, notée {\le}.
    C’est un ordre total pour lequel {\min(\mathbb{N})=0}, mais {\max(\mathbb{N})} n’existe pas.
    On sait que toute partie non vide de {\mathbb{N}} possède un plus petit élément.
    On sait également que tout partie finie non vide de {\mathbb{N}} possède un plus grand élément.
  • Passons maintenant à la relation de divisibilité sur {\mathbb{N}}.
    C’est une relation d’ordre partiel (il y a des entiers non comparables, par exemple {2} et {3}).

    Pour la relation de divisibilité, le minimum de {\mathbb{N}} est {1} (car {1} divise tous les éléments de {\mathbb{N}}), et le maximum de {\mathbb{N}} est {0} (car {0} est un multiple de tout {n} de {\mathbb{N}}).

    Une partie non vide de {\mathbb{N}} peut ne pas avoir de plus petit élément au sens de la division.
    Par exemple (et on parle bien de la relation « divisibilité » !) :

    • Si {A=\{6,9,12,15,18\}}, il n’y a ni minimum ni maximum.
    • Si {A=\{3,6,9,12,15,18\}},{3} est minimum mais il n’y a pas de maximum.
    • Si {A=\{6,9,12,15,18,180\}}, il n’y a pas de minimum, et {180} est maximum.
    • Si {A=\{3,6,9,12,15,18,180\}}, {3} est minimum, et {180} est maximum.
    • Si {A=\{0,1,3,6,9,12,15,18,180\}}, {1} est minimum, et {0} est maximum!
  • On n’est donc pas à l’abri d’une ambiguïté quand on parle de divisibilité dans {\mathbb{N}} et qu’on utilise les expressions « plus petit que », « plus grand que », « maximum », « minimum ».
    Remarquons tout de même que, pour {(a,b)} dans {\mathbb{N}^{*}\times\mathbb{N}^{*}}, on a : {a\mid b\Rightarrow a\le b}.
    Mais dans {\mathbb{N}^{2}}, l’implication {a\mid b\Rightarrow a\le b} est fausse à cause du cas {a\ge 1} et {b=0}.

La division euclidienne

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Congruences dans {\mathbb{Z}}

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