Arithmétique des entiers (3/4)

Soit {a} et {b} deux entiers relatifs.
On dit que {a} et {b} sont premiers entre eux (ou encore étrangers) si {a\wedge b=1}.

• Il revient au même d’écrire {\mathcal{D}(a)\cap\mathcal{D}(b)=\{-1,1\}}.
• Cela équivaut aussi à dire que le seul diviseur commun strictement positif de {a} et {b} est {1}.
• Dans le cas où {a=b=0}, on rappelle que {a\wedge b=0}, donc le problème ne pose pas.
• Seuls les entiers {1} et {-1} sont premiers avec eux-mêmes.
• Comme on a toujours {a\wedge b=\left|a\right|\wedge\left|b\right|}, on peut se ramener au cas de deux entiers naturels dont l’un au moins est non nul. Et dire alors que {a} et {b} sont premiers entre eux, c’est dire que le dernier reste non nul dans leur algorithme d’Euclide est égal à {1}.
• On ne confondra pas cette notion avec celle de « nombre premier » (voir plus loin).

Soit {a} et {b} deux entiers relatifs (non tous deux nuls), et {d} leur pgcd (donc {d>0}).
Les deux entiers {a'} et {b'} tels que {a=da'} et {b=db'} sont premiers entre eux.

Réciproquement, si {u\wedge v=1}, et pour tout {\delta} dans {\mathbb{N}^{*}}, le pgcd de {\delta u} et {\delta v} est égal à {\delta}.

Avec les notations précédentes, le rationnel {r=\dfrac{a}{b}} admet la forme dite irréductible : {r=\dfrac{a'}{b'}}.
Cette forme irréductible (simplifiée) est unique si on impose un dénominateur strictement positif.