Applications linéaires (2/3)

Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}} et {f} une application linéaire de {E} dans {F}.
Soit {(u_i)_{i\in I}} une famille génératrice de {E}. Alors {(f(u_i))_{i\in I}} est génératrice dans {\text{Im}(f)}.
En particulier, si {f} est surjective, alors la famille {(f(u_i))_{i\in I}} est génératrice dans {F}.

Une application linéaire surjective transforme donc une famille génératrice en une famille génératrice.

Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}} et soit {f} une application linéaire de {E} dans {F}.
Soit {(u_i)_{i\in I}} une famille d’éléments de {E}.
Si la famille {(u_i)_{i\in I}} est liée, alors la famille {(f(u_i))_{i\in I}} est liée.
Si la famille {(u_i)_{i\in I}} est libre et si {f} est injective, alors la famille {(f(u_i))_{i\in I}} est libre.

Une application linéaire injective transforme donc une famille libre en une famille libre.

Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}} et soit {f} un isomorphisme de {E} sur {F}.
Soit {(u_i)_{i\in I}} une base de {E}. Alors la famille {(f(u_i))_{i\in I}} est une base de {F}.

Une application linéaire bijective transforme donc une base en une base.

Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}, {E} étant muni d’une base {(e_i)_{i\in I}}.
Soit {(v_i)_{i\in I}} une famille quelconque de vecteurs de {F}.
Alors il existe une unique application linéaire {f} de {E} dans {F} telle que : {\forall\, i\in I, f(e_i)=v_i}.

• l’application {f} est injective si et seulement si la famille {(v_i)_{i\in I}} est libre dans {F}.
• l’application {f} est surjective si et seulement si {(v_i)_{i\in I}} est génératrice dans {F}.
• l’application {f} est bijective si et seulement si la famille {(v_i)_{i\in I}} est une base de {F}.

On retiendra en particulier :

Soit {f=E\to F} une application linéaire.
Alors {f} est un isomorphisme si et seulement si {f} transforme une base de {E} en une base de {F}.
Elle transforme alors toute base de {E} en une base de {F}.

Soit {(E_{i})_{1\le i\le n}} une famille de sous-espaces de {E} telle que {E=\displaystyle\bigoplus_{i=1}^{n}E_{i}}.

• Soit {f} une application linéaire de {E} dans un espace vectoriel {F}.

  Pour tout {i} de {\{1,\ldots,n\}}, soit {f_{i}} la restriction de {f} à {E_{i}} (c’est un élément de {\mathcal{L}(E_{i},F)}).

  Si {u=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}u_{i}} (avec {u_{i}\in E_{i}}), on a {f(u)=f\Bigl(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}u_{i}\Bigr)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(u_{i})}, c’est-à-dire {f(u)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f_{i}(u_{i})}.

  Ainsi, connaître la restriction de {f} à chaque {E_{i}} permet de « reconstruire » {f} de manière unique.

• Réciproquement, pour tout {i} de {\{1,\ldots,n\}} on se donne {\varphi_{i}} linéaire de {E_{i}} dans {F}.
  Alors il existe une et une seule application linéaire de {E} dans {F} telle que {f_{\mid E_{i}}=\varphi_{i}} pour tout {i}.
  Toujours avec la notation {u=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}u_{i}}, cette application {f} est définie par {f(u)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\varphi_{i}(u_{i})}.