Applications linéaires (1/3)

Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}.
Une application {f} de {E} dans {F} est dite linéaire si : {\begin{cases}\forall\, (u,v)\in E^2\\\forall\,\lambda\in\mathbb{K}\end{cases},\;\begin{cases}f(u+v)=f(u)+f(v)&\cr f(\lambda u)=\lambda f(u)&\end{cases}}

On dit aussi que {f} est un morphisme d’espaces vectoriels.

{f:E\to F} est linéaire si et seulement si : {\begin{array}{l}\forall\, (u,v)\in E^2,\,\forall\,(\alpha,\beta)\in\mathbb{K}^2,\\[9pts]\quad f(\alpha u+\beta v)=\alpha f(u)+\beta f(v)\end{array}}Si {f} est linéaire, alors {f\Bigl(\displaystyle\sum_{i\in I}\lambda_i\,u_i\Bigr)=\displaystyle\sum_{i\in I}\lambda_i\,f(u_i)} pour toute combinaison linéaire.
On exprime cette propriété en disant qu’une application linéaire « conserve les combinaisons linéaires ».

Si {f:E\to F} est linéaire, alors {f(0_E)=0_F} (utile pour montrer la non-linéarité).

On note {\mathcal{L}(E,F)} l’ensemble des applications linéaires de {E} dans {F}.
Un endomorphisme de {E} est une application linéaire de {E} dans lui-même.
On note {\mathcal{L}(E)} (plutôt que {\mathcal{L}(E,E)}) l’ensemble des endomorphismes de {E}.

Un isomorphisme est une application linéaire bijective.
On dit qu’un isomorphisme de {E} dans lui-même est un automorphisme de {E}.
On dit qu’une application linéaire de {E} dans {\mathbb{K}} est une forme linéaire.

• Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}. L’application nulle de {E} dans {F} est linéaire.
• Soit {E={\mathcal C}([a,b],\mathbb{K})} l’espace vectoriel des applications continues de {[a,b]} dans {\mathbb{K}}.
  L’application {f\to\varphi(f)=\!\displaystyle\int_a^b\!\!f(t)\text{d}t} est une forme linéaire sur l’espace {E}.
• L’application {f\mapsto f'} est un endomorphisme de {E={\mathcal C}^\infty(I,\mathbb{R})}.
• Les formes linéaires sur {\mathbb{K}^{n}} sont les applications {f\colon(x_1,x_2,\ldots,x_n)\to\displaystyle\sum_{k=1}^n\lambda_k\,x_k}.
• Soit {f_{1},\ldots,f_{p}}, linéaires de {E} dans {F}.
  Alors l’application {u\mapsto f(u)=(f_{1}(u),\ldots,f_{p}(u))} est linéaire de {E} dans {F^{p}}.
  Par exemple, l’application :{(x,y,z)\mapsto (2x-y+z,x-3y+2z)}est linéaire de {\mathbb{R}^{3}} dans {\mathbb{R}^{2}}.
  Plus généralement, tout application {f\colon(x_{1},\ldots,x_{n})\mapsto\Bigl(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}x_{k},\displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_{k}x_{k},\ldots\Bigr)} est linéaire.