Conditionnement et indépendance

• Événements, probabilités
• Conditionnement et indépendance
• Variables aléatoires
• Couples de variables aléatoires
• Indépendance de variables aléatoires
• Espérance d'une variable aléatoire
• Variance, écart-type

Il est sous-entendu que tous les énoncés de cette sous-section (définitions et propositions) commencent par la même phrase « Soit {(\Omega,\mathbb{P})} un espace probabilisé fini ».

Le réel {\mathbb{P}_{B}(A)=\dfrac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}} est aussi noté {\mathbb{P}(A\mid B)}.

Ce réel est appelé « probabilité conditionnelle de {A} sachant {B}« .

Avec cette définition, on a l’égalité importante : {\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(B)\;\mathbb{P}_{B}(A)}

Convention d’écriture

Si {\mathbb{P}(B)=0} (donc {\mathbb{P}(A\cap B)=0}) on convient que : {\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(B)\,\mathbb{P}(A\mid B)=0}.

Dans ce cas, on évitera d’utiliser la notation {\mathbb{P}_{B}}.

Pour {n=0}, si {\mathbb{P}(A_{0})>0} : {\mathbb{P}(A_{0}\cap A_{1})=\mathbb{P}(A_{0})\,\mathbb{P}_{A_{0}}(A_{1})}Pour {n=1}, si {\mathbb{P}(A_{0}\cap A_{1})>0)} : {\mathbb{P}(A_{0}\cap A_{1}\cap A_{2})=\mathbb{P}(A_{0})\,\mathbb{P}_{A_{0}}(A_{1})\,\mathbb{P}_{A_{0}\cap A_{1}}(A_{2})}Pour {n=2}, si {\mathbb{P}(A_{0}\cap A_{1}\cap A_{2})>0} : {\begin{array}{l}\mathbb{P}(A_{0}\cap A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})\\[9pts]=\mathbb{P}(A_{0})\,\mathbb{P}_{A_{0}}(A_{1})\,\mathbb{P}_{A_{0}\cap A_{1}}(A_{2})\,\mathbb{P}_{A_{0}\cap A_{1}\cap A_{2}}(A_{3})\end{array}}

En utilisant l’autre notation pour les probabilités conditionnelles, cela s’écrit :
{\begin{array}{l}\mathbb{P}(A_{0}\cap A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})\\[9pts]=\mathbb{P}(A_{0})\;\mathbb{P}(A_{1}\mid A_{0})\;\mathbb{P}(A_{2}\mid A_{0}\cap A_{1})\\[6pts]\quad\mathbb{P}(A_{3}\mid A_{0}\cap A_{1}\cap A_{2})\end{array}}