Systèmes linéaires

Plan du chapitre "Calculs algébriques"

Systèmes linéaires

Dans cette partie, {\mathbb{K}} désigne {\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}. Conformément au programme, on introduit ici la notation de système linéaire de {n} équations à {p} inconnues, à coefficients dans {\mathbb{K}}. Certaines notions théoriques ne sont abordées qu’au second semestre de la classe de Mpsi/Pcsi.

Système linéaire de n équations à p inconnues

Définition
On appelle système linéaire de {n} équations, à {p} inconnues et à coefficients dans {\mathbb{K}} tout système d’équations de la forme :
{{\text{(S)}\ }\begin{cases}a_{11}\,x_1+\cdots+a_{1j}\,x_j+\cdots+a_{1p}\,x_p=b_1&\cr a_{21}\,x_1+\cdots+a_{2j}\,x_j+\cdots+a_{2p}\,x_p=b_2&\cr\vdots\cr a_{i1}\,x_1\,+\cdots\,+a_{ij}\,x_j+\cdots+a_{ip}\,x_p=b_i&\cr\vdots a_{n1}\,x_1+\cdots+a_{nj}\,x_j+\cdots+a_{np}\,x_p=b_n\end{cases}}Les {a_{ij}} (éléments de {\mathbb{K}}) sont appelés les coefficients du système.
Les coefficients {b_1,\ldots,b_n} (éléments de {\mathbb{K}}) sont appelés les seconds membres.
On dit que l’élément {u=(x_1,x_2,\ldots,x_p)} de {\mathbb{K}^p} est le {p}-uplet des inconnues du système.
On dit que {u=(x_1,x_2,\ldots,x_p)} est une solution du système si les valeurs {x_1,x_2,\ldots,x_p} satisfont à chacune des égalités figurant dans (S).

Exemples et définitions complémentaires

  • Dans la pratique, on est amené à résoudre des systèmes à deux, trois, ou quatre inconnues.
    Celles-ci seront alors notées {x,y,z,t} par exemple, plutôt que {x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}.
  • Dans le cas {n=p}, on parle de système « carré » :
    Ainsi {(S)} {\begin{cases}2x+3y+5z=1\cr5x+2y+3z=4\cr3x+5y+2z=0\end{cases}} est un système carré de taille {3}, d’inconnues {x,y,z}.
    L’enseignement de « spécialité maths » de la classe de Terminale S comporte une approche matricielle des systèmes linéaires. Par exemple, le système {(S)} précédent s’écrit {AX=B}, avec : {A=\begin{pmatrix}2&3&5\\5&2&3\\3&5&2 \end{pmatrix},\;X=\begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix},\;B=\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}}Le point de vue matriciel est très fécond, et il sera développé plus tard dans l’année. On se contentera ici de quelques allusions au vocabulaire de la spécialité maths de la classe de TS.
  • Certains systèmes peuvent posséder plus d’équations que d’inconnues (donc {n>p} dans la définition ci-dessus : on dit qu’un tel système est « sur-déterminé ») ou au contraire moins d’équations que d’inconnues ({n\lt p} : système « sous-déterminé »).
    Par exemple {\begin{cases}2x+5y-8z=8\cr4x+3y-9z=9\cr2x+3y-5z=7\cr x+8y-7z=12\end{cases}} est sur-déterminé.
    En revanche, {\begin{cases}x+y+z+t+u=7\cr3x+2y+z+t-3u=-2\cr y+2z+2t+6u=23\cr5x+4y+3z+3t-u=12\end{cases}} est sous-déterminé.
  • Certains systèmes sont dits triangulaires (ou « en escaliers », ou « en cascades », ou « échelonnés »).
    Par exemple {\begin{cases}x-3y-z+t=5\cr 2y+z-3t=2\cr z+t=1\end{cases}} et {\left\{\begin{matrix}&&z=5\\&y&+z=1\\x&+y&+3z=1\end{matrix}\right.} sont échelonnés.
  • Dans certains cas, l’écriture d’un système linéaire {(S)} peut comporter un (ou plusieurs!) paramètre(s). Il faut alors résoudre en discutant suivant les valeurs du ou des paramètres.
    Par exemple : {\begin{cases}x+y-mz=m+2\cr mx-y+2z\;=1\cr x-my+z=m-1\end{cases}}, où le paramètre est {m}.
    Autre exemple, {\begin{cases}ax+by+z=1\cr x+aby+z=b\cr x+by+az=1\end{cases}} où les paramètres sont {a,b}.
    Dans la résolution d’un système à paramètre {m}, il est important de savoir si {m} est à valeurs réelles ou complexes, car les cas particuliers de la discussion ne sont alors pas forcément les mêmes.

Interprétation géométrique (deux ou trois variables)

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