Factorielles et coefficients binomiaux

Plan du chapitre "Calculs algébriques"

Définition
On pose

{0!=1}

, et pour tout

{n}

{\mathbb{N}^{*}}

, on note

{n!=n\;(n-1)!}

.
Le symbole

{n!}

se lit « factorielle

{n}

« .

Remarques :

L’énoncé précédent est un exemple de définition récursive.
Pour tout ${n}$ de ${\mathbb{N}^{*}}$ , l’entier ${n!}$ est le produit des entiers de ${1}$ à ${n}$ , c’est-à-dire ${n!=\displaystyle\prod_{k=1}^nk}$
On retiendra les valeurs :
${\qquad 0!=1}$ , ${1!=1}$ , ${2!=2}$ , ${3!=6}$ , ${4!=24}$ , ${5!=120}$ , ${6!=720}$ , ${7!=5040}$ .
L’entier ${n!}$ désigne le nombre de permutations d’un ensemble à ${n}$ éléments (c’est-à-dire de bijections de cet ensemble sur lui-même). Par exemple les ${3!=6}$ permutations des lettres du mot ${abc}$ sont : ${abc}$ , ${acb}$ , ${bac}$ , ${bca}$ , ${cab}$ et ${cba}$ .
Pour les grandes valeurs de ${n}$ , on verra plus tard la formule de Stirling : ${n!\sim n^{n}\text{e}^{-n}\sqrt{2\pi n}}$ .
La signification de ${\sim}$ est que le quotient des deux expressions tend vers ${1}$ quand ${n}$ tend vers ${+\infty}$ .
Par exemple, pour ${n=20}$ , on a : ${\begin{cases}n!=2432902008176640000\\n^{n}\text{e}^{-n}\sqrt{2\pi n}\approx 2.42278684676\cdot 10^{18}\end{cases}}$

Définition (combinaisons de p éléments parmi n)
Soient

{n}

{p}

deux entiers, avec

{0\le p\le n}

. Soit

{E}

un ensemble fini possédant

{n}

éléments.
On note

{\dbinom{n}{p}}

le nombre de sous-ensemble de

{E}

possédant

{p}

éléments.

Remarques :

L’ensemble ${E}$ dont il est question ici est évidemment sans importance.
Par exemple, dans l’ensemble ${E=\{a,b,c,d,e\}}$ , il y a ${10}$ parties à trois éléments, qui sont ${\{a,b,c\}}$ , ${\{a,b,d\}}$ , ${\{a,b,e\}}$ , ${\{a,c,d\}}$ , ${\{a,c,e\}}$ , ${\{a,d,e\}}$ , ${\{b,c,d\}}$ , ${\{b,c,e\}}$ , ${\{b,d,e\}}$ , ${\{c,d,e\}}$
Le coefficient ${\dbinom{n}{p}}$ se lit « ${p}$ parmi ${n}$ « .
Si ${E}$ a ${n}$ éléments, il y a dans ${E}$ : une seule partie vide, donc ${\dbinom{n}{0}=1}$ .
De même, il y a une seule partie à ${n}$ éléments ( ${E}$ lui-même), donc ${\dbinom{n}{n}=1}$ .
On étend la définition en posant ${\dbinom{n}{p}=0}$ si ${p\lt 0}$ ou ${p>n}$ (ce qui est assez logique).