Sommes et produits

• Les ensembles de nombres
• Sommes et produits
• Factorielles et coefficients binomiaux
• Sommes doubles, interversions
• Systèmes linéaires
• Méthode du pivot de Gauss

Sommes et produits finis

Remarques

• Dans les notations précédentes, il faut bien comprendre que chaque indice {i} apparaît une fois et une seule, dans la somme ou dans le produit. La commutativité des opérations fait qu’il n’est pas nécessaire de préciser dans quel ordre sont effectués cette somme ou ce produit.
• Supposons que {I} soit la réunion {I=J\cup K} de deux ensembles disjoints {J} et {K}.
  Il est clair que {\displaystyle\sum_{i\in I}x_{i}=\displaystyle\sum_{i\in J}x_{i}+\displaystyle\sum_{i\in K}x_{i}} et que {\displaystyle\prod_{i\in I}x_{i}=\Bigl(\displaystyle\prod_{i\in J}x_{i}\Bigr)\Bigl(\displaystyle\prod_{i\in K}x_{i}\Bigr)}.
  Cette remarque aide à comprendre les conventions {\displaystyle\sum_{i\in \emptyset}x_{i}=0} et {\displaystyle\prod_{i\in \emptyset}x_{i}=1} (et elle ).
• Un cas fréquent est celui ou {I} est un intervalle d’entiers.
  Supposons par exemple {I=[[ m,n]]} (notation usuelle pour désigner {\{k\in \mathbb{N}, m\le k\le n\}}).
  Dans ce cas, on notera {\displaystyle\sum_{i=m}^{n}x_{i}} pour la somme, et {\displaystyle\prod_{i=m}^{n}x_{i}} pour le produit.
  Attention : on effectue ici la somme (ou le produit) dans le sens des indices croissants. On considèrera donc que la somme est vide (donc vaut {0}) et que le produit est vide (donc vaut {1}) si {m>n}.
• La lettre utilisée pour décrire l’ensemble {I} est sans importance, dans la mesure où elle ne prête pas à confusion (on parle d’indice muet).
  La même somme pourra donc être notée indifféremment {\displaystyle\sum_{i\in I}x_{i}}, {\displaystyle\sum_{j\in I}x_{j}}, ou {\displaystyle\sum_{k\in I}x_{k}}.
  Par exemple, {\displaystyle\sum_{j=1}^{n}x^{j}} peut se noter {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x^{i}}, mais certainement pas {\displaystyle\sum_{x=1}^{n}x^{x}} ou {\displaystyle\sum_{x=1}^{n}x^{n}}

Factorisations dans des sommes ou des produits

• Si {\lambda} ne dépend pas de l’indice {i}, alors {\displaystyle\sum_{i\in I}(\lambda x_{i})=\lambda\sum_{i\in I}x_{i}}.
  Bien sûr {\displaystyle\sum_{i\in I}\lambda=\lambda\text{card}(I)} (où {\text{card}(I)} désigne le nombre d’éléments de {I}).

  Plus généralement, si {\lambda,\mu} sont constants : {\displaystyle\sum_{i\in I}(\lambda x_{i}+\mu y_{i})=\lambda\sum_{i\in I}x_{i}+\mu\sum_{i\in I}y_{i}}.

• Si {\lambda} ne dépend pas de {i}, et si {n=\text{card}(I)\ge1}, alors :
  {\displaystyle\prod_{i\in I}(\lambda x_{i})=\lambda^{n}\prod_{i\in I}x_{i}\text{\ et en particulier\ }\displaystyle\prod_{i\in I}\lambda=\lambda^{n}}
• On a les égalités {\displaystyle\prod_{i\in I}(x_{i}\,y_{i})=\Bigl(\displaystyle\prod_{i\in I}x_{i}\Bigr)\Bigl(\displaystyle\prod_{i\in I}y_{i}\Bigr)} et {\displaystyle\prod_{i\in I}x_{i}^{p}\,y_{i}^{q}=\Bigl(\displaystyle\prod_{i\in I}x_{i}\Bigr)^{p}\Bigl(\displaystyle\prod_{i\in I}y_{i}\Bigr)^{q}}
• Attention surtout à ne pas faire l’erreur d’écrire {\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_{i}\,y_{i}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_{i}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} y_{i}}.

Changements d’indice