Méthode du pivot de Gauss

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{\vartriangleright} Principe de la méthode

Le principe est le suivant : par une suite d’opérations élémentaires, on transforme le système (S) en un système ({\Sigma}) équivalent et dont la matrice est échelonnée supérieurement.

La résolution de ({\Sigma}) donne alors les solutions de (S).

{\vartriangleright} Mise en oeuvre de la méthode

Considérons le système {(S)}: {\left\{\begin{array}{lll}a_{11}\,x_1+\cdots+a_{1j}\,x_j+\cdots+a_{1p}\,x_p&=b_1\\a_{21}\,x_1+\cdots+a_{2j}\,x_j+\cdots+a_{2p}\,x_p&=b_2\\\vdots&=\vdots\\a_{i1}\,x_1\,+\cdots\,+a_{ij}\,x_j+\cdots+a_{ip}\,x_p&=b_i\\\vdots&=\vdots\\a_{n1}\,x_1\cdots+a_{nj}\,x_j+\cdots+a_{np}\,x_p&=b_n\end{array}\right.}Supposons dans un premier temps que {a_{11}} est non nul.

On effectue alors des opérations élémentaires, avec {a_{11}} comme pivot, pour annuler les coefficients de {x_1} dans les équations {\text{E}_2,\text{E}_3,\ldots,\text{E}_n}.

Ainsi, avec les opérations {\begin{cases}\text{E}_2\leftarrow a_{11}\text{E}_2-a_{21}\text{E}_1\\\ldots\\\text{E}_i\leftarrow a_{11}\text{E}_i-a_{i1}\text{E}_1\\\ldots\\\text{E}_n\leftarrow a_{11}\text{E}_n-a_{n1}\text{E}_1\end{cases}}, le système (S) devient {(S')}: {\left\{\begin{array}{rll}a_{11}\,x_1+a_{12}\,x_2+\cdots+a_{1p}\,x_p&=b_1\\a'_{22}\,x_2+\cdots+a'_{2p}\,x_p&=b'_2\\\vdots&=\vdots\\a'_{i2}\,x_2\,+\cdots+a'_{ip}\,x_p&=b'_i\\\vdots&=\vdots\\a'_{n2}\,x_2+\cdots+a'_{np}\,x_p&=b'_n\end{array}\right.}

Supposons maintenant que le coefficient {a'_{22}} soit non nul.

Les opérations élémentaires {\text{E}_i\leftarrow a'_{22}\text{E}_i-a'_{i2}\text{E}_2}
(avec {3\le i\le n}) conduisent à {S''} :
{\left\{\begin{array}{rl}a_{11}\,x_1+a_{12}\,x_2+a_{13}\,x_3+\cdots+a_{1p}\,x_p&=b_1\\a'_{22}\,x_2+a'_{23}\,x_3+\cdots+a'_{2p}\,x_p&=b'_2\\a''_{33}\,x_3\,+\cdots+a''_{3p}\,x_p&=b''_3\\\vdots&=\vdots\\a''_{n3}\,x_3\,+\cdots+a''_{np}\,x_p&=b''_n\end{array}\right.}
On poursuit ainsi la mise sous forme échelonnée de la matrice du système.

À un moment donné, il est possible que le coefficient diagonal qui doit nous servir de nouveau pivot soit nul (mais alors ce n’est pas un pivot!) : dans ce cas on échange l’équation concernée avec l’une des équations suivantes de manière à obtenir un pivot non nul.

Il se peut que tous les pivots potentiels pour passer à l’étape suivante soient nuls. C’est le cas dans ({S''}) par exemple, si tous {a''_{33},a''_{43},\ldots,a''_{n3}} sont tous nuls : dans cette situation particulière, on s’intéressera au coefficient {a''_{34}} (s’il est non nul) ou à défaut aux coefficients {a_{44},\ldots,a_{n4}}, etc.

{\vartriangleright} Forme finale du système

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