Sommes doubles, interversions

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• Sommes doubles, interversions
• Systèmes linéaires
• Méthode du pivot de Gauss

Dans cette section, on note {\Omega} une partie finie de {\mathbb{N}^{2}}.
On identifie tout couple {(i,j)} de {\Omega} au point du plan d’abscisse {i} et d’ordonnée {j}.
On considère une application définie sur {\Omega}, à valeurs dans {\mathbb{C}}, et on note {x_{i,j}} l’image du couple {(i,j)}.
Soit {S=\displaystyle\sum_{(i,j)\in\Omega}x_{i,j}} la somme des {x_{i,j}}, quand {(i,j)} parcourt {\Omega}. On dit que {S} est une somme double.
Une méthode habituelle de calcul de {S} consiste à voir cette somme double comme l’enchaînement de deux sommes simples consécutives.

Somme sur un domaine rectangulaire

Ici {\Omega} est le produit cartésien {I\times J} de deux intervalles {I=[[ m,n]]} et {J=[[ p,q]]}, avec {m\le n} et {p\le q}.
L’ensemble {\Omega} s’identifie alors aux points d’intersection d’une grille rectangulaire du plan.
Dans ces conditions {S=\displaystyle\sum_{(i,j)\in\Omega}x_{i,j}=\displaystyle\sum_{i=m}^{n}\Bigl(\sum_{j=p}^{q}x_{i,j}\Bigl)=\displaystyle\sum_{j=p}^{q}\Bigl(\sum_{i=m}^{n}x_{i,j}\Bigl)}.
La première expression évoque un parcours de {\Omega} en colonnes : pour chaque {i} en abscisse ({m\le i\le n}), on forme la somme « verticale » {V_{i}=\displaystyle\sum_{j=p}^{q}x_{i,j}} et on termine en calculant {\displaystyle\sum_{i=m}^{n}V_{i}}.
La deuxième expression évoque un parcours de {\Omega} en lignes : pour chaque {j} en ordonnée ({p\le j\le q}), on forme la somme « horizontale » {H_{j}=\displaystyle\sum_{i=m}^{n}x_{i,j}} et on termine en calculant {\displaystyle\sum_{j=p}^{q}H_{j}}.
Il y a donc une « somme interne » et une « somme externe ». Le caractère rectangulaire de {\Omega} fait que les bornes de la somme interne ne dépendent pas de « l’indice courant » dans la somme externe, et qu’on peut librement intervertir les deux sommes.
Dans la pratique, on écrira indifféremment :
{S=\displaystyle\sum_{m\le i\le n\atop p\le j\le q}x_{i,j}=\displaystyle\sum_{i=m}^{n}\,\sum_{j=p}^{q}x_{i,j}=\displaystyle\sum_{j=p}^{q}\;\sum_{i=m}^{n}x_{i,j}}Quand {I=J=[[ m,n]]}, on pourra écrire {S=\displaystyle\sum_{m\le i,j\le n}x_{i,j}}

Mise en facteur de termes indépendants de l’indice de sommation

Considérons la somme {S=\displaystyle\sum_{m\le i\le n\atop p\le j\le q}x_{i,j}}, où {x_{i,j}} peut s’écrire {x_{i,j}=\lambda_{i}\,\mu_{j}\,y_{i,j}}.
On peut alors factoriser {\lambda_{i}} dans une somme interne sur {j}, et {\mu_{j}} dans une somme interne sur {I}.
Plus précisément, on peut écrire : {\begin{array}{rl}S&=\displaystyle\sum_{i=m}^{n}\biggl(\sum_{j=p}^{q}\lambda_{i}\,\mu_{j}\,y_{i,j}\biggr)=\displaystyle\sum_{i=m}^{n}\biggl(\lambda_{i}\sum_{j=p}^{q}\mu_{j}\,y_{i,j}\biggr)\\\\&=\displaystyle\sum_{j=p}^{q}\biggl(\mu_{j}\sum_{i=m}^{n}\lambda_{i}\,x_{i,j}\biggr)\end{array}}Dans le cas où {x_{i,j}} s’écrit {x_{i,j}=\lambda_{i}\,\mu_{j}}, la factorisation est encore plus prononcée.
Dans ce cas on écrira : {\begin{array}{rl}S&=\displaystyle\sum_{i=m}^{n}\biggl(\sum_{j=p}^{q}\lambda_{i}\,\mu_{j}\biggr)=\displaystyle\sum_{i=m}^{n}\biggl(\lambda_{i}\sum_{j=p}^{q}\mu_{j}\biggr)\\\\&=\biggl(\displaystyle\sum_{i=m}^{n}\lambda_{i}\biggr)\;\biggl(\sum_{j=p}^{q}\mu_{j}\biggr)\end{array}}

Somme sur un domaine triangulaire

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