Systèmes différentiels (1/2)

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Systèmes {X'=A(t)X+B(t)}

D. Système différentiel d'ordre 1
Soit {I} un intervalle de {\mathbb{R}}, et {n} dans {\mathbb{N}^{*}}.
Soit {\begin{cases}A :I\to\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\\ B :I\to \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})\end{cases}} deux fonctions continues.
On dit qu’une fonction {X :I\to \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})} est solution de l’équation {X'=A(t)X+B(t)} si :

  • la fonction {t\mapsto X(t)} est dérivable sur {I}.
  • on a : {\forall\,t\in I,\;X'(t)=A(t)X(t)+B(t)}.

R. Remarques

  • on dit que {(S) :X'=A(t)X+B(t)} est un système différentiel linéaire d’ordre 1.
  • l’équation {(H)\, : X'=A(t)X} est appelée système homogène associé à {(S)};
    c’est le cas particulier correspondant à une fonction {B} identiquement nulle.
  • quand on dit «solution de {(S)}», c’est pour dire «solution sur tout l’intervalle {I}».
  • toute solution de {(S)} ou de {(H)} est nécessairement de classe {{\mathcal C}^1} sur {I}.

P. Forme de l'ensemble des solutions
Soit {A :I\to\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} et {B :I\to \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})}, toutes deux continues sur l’intervalle {I}.
On suppose qu’on connait une solution particulière {X_{p}} de {(S) :X'=A(t)X+B(t)}.
Soit {X :I\to \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})} une fonction dérivable sur {I}.
Les conditions suivantes sont équivalentes :

  • la fonction {X} est solution de {(S)}
  • la fonction {X-X_{p}} est solution du système homogène associé {(H) :X'=A(t)X}.

En d’autres termes, la solution générale de {(S)} s’écrit comme la somme de la solution générale de {(H)} et d’une solution particulière de {(S)}. Si on connait une solution particulière de {(S)}, tout revient donc à résoudre le système {(H)} (on verra plus loin comment).

P. Théorème de Cauchy linéaire
Soit {A :I\to\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} et {B :I\to \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})} deux fonctions continues sur un intervalle {I}.
Soit {t_{0}\in I}, et {X_0\in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})}.
Le système {(S) :\;X'(t)=A(t)X(t)+B(t)} a une seule solution telle que {X(t_{0})=X_{0}}.
La trouver, c’est «résoudre le problème de Cauchy» pour la condition initiale {X(t_{0})=X_{0}}.
Rappel : cette solution est définie sur {I} tout entier.
R. Principe de la méthode d'Euler
La méthode d’Euler permet de former une approximation de la solution au problème de Cauchy pour le système différentiel linéaire {(S) :\;X'(t)=A(t)X(t)+B(t)}avec la condition initiale {X(t_{0})=X_{0}}.

On cherche une suite {(X_{k})} d’approximations des {X(t_{k})}, où {t_{k}=t_{0}+kh} (avec {h>0} fixé).

Supposons calculé un vecteur {X_{k}} particulier (donc une approximation du vecteur {X(t_{k})}), et soit {Y} la solution de {(S)} qui satisfait à la condition initiale {Y(t_{k})=X_{k}}.

Le développement limité d’ordre {1} de {Y} en {t_{k}} est : {Y(t_{k}+\delta)=Y(t_{k})+\delta Y'(t_{k})+\overrightarrow{\text{o}}(\delta)}Ce développement s’écrit donc : {Y(t_{k}+\delta)=X_{k}+\delta(A(t_{k})X_{k}+B(t_{k}))+\overrightarrow{\text{o}}(h)}On pose alors {X_{k+1}=X_{k}+h(A(t_{k})X_{k}+B(t_{k}))}.

À partir de {(t_{0},X_{0})}, la méthode se résume donc à : {\forall\, k\in\mathbb{N},\;\begin{cases}t_{k+1}=t_{k}+h\\X_{k+1}=X_{k}+h(A(t_{k})X_{k}+B(t_{k}))\end{cases}}On a supposé {k\in\mathbb{N}} (donc {t\ge t_{0}}) mais on peut « remonter le temps » et calculer les {X_{k}} pour {k\lt0} (ou garder {k\ge0} mais choisir {h\lt 0}).
Dans tous les cas, les valeurs de l’entier {k} sont limitées par la condition {t_{k}=t_{0}+kh\in I}.

Systèmes différentiels homogènes

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