Suites numériques (2/5)

Soit {u=(u_n)_{n\ge0}} une suite de nombres réels.

• On dit que la suite {u} tend vers {+\infty} si : {\forall\, A\in\mathbb{R},\;\exists\, N\in\mathbb{N},\;n\ge N\Rightarrow u_n\ge A}.
• On dit que la suite {u} tend vers {-\infty} si : {\forall\, A\in\mathbb{R},\;\exists\, N\in\mathbb{N},\;n\ge N\Rightarrow u_n\le A}.
• Soit {\ell} un nombre réel.
  On dit que la suite {u} tend vers {\ell} si : {\forall\,\varepsilon>0,\;\exists\, N\in\mathbb{N},\;n\ge N\Rightarrow |u_n-\ell|\le\varepsilon}.

• On a ainsi donné un sens à la phrase « la suite {u} tend vers {\ell}« , avec {\ell} dans {\overline{\mathbb{R}}}.
  On pourrait dire que la suite {u} tend vers {\ell} « quand {n\to+\infty}« , mais ce n’est pas vraiment utile, s’il n’y a pas d’ambiguïté possible sur le rôle de {n} dans cette définition.
• On peut aussi adopter une définition moins formelle (mais tout aussi précise):
  « La suite {u} tend vers {\ell} réel si tout intervalle ouvert contenant {\ell} contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang »
  « La suite {u} tend vers {+\infty} si tout intervalle ouvert de la forme {]A,+\infty[} contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang »

• Soit {\ell} un élément de {\overline{\,\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}}. Si la suite {u} tend vers {\ell} on note simplement {u_{n}\to\ell}.

Soit {u=(u_n)_{n\ge0}} une suite de nombres réels, tendant vers {\ell}, avec {\ell} dans {\overline{\mathbb{R}}}.
Alors {\ell} est le seul élément de {\overline{\mathbb{R}}} à posséder cette propriété.
On l’appelle la limite de la suite {u}, et on note {\ell = \lim u_{n}}.

On peut noter {\displaystyle\lim_{n\to\infty} u_{n}}, ou {\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_{n}}, notamment en présence d’autres variables.
Par exemple, pour lever toute ambiguïté, on écrira : {\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{2n+5m}{3n+7m}=\dfrac{2}{3}\;\text{et}\;\displaystyle\lim_{m\to\infty}\dfrac{2n+5m}{3n+7m}=\dfrac{5}{7}}