Sous-espaces vectoriels

Plan du chapitre "Espaces vectoriels"

Notion de sous-espace vectoriel

Définition (sous-espace vectoriel)
Soit

{E}

un espace vectoriel sur

{\mathbb{K}}

. Soit

{F}

une partie non vide de

{E}

.
On dit que

{F}

est un sous-espace vectoriel de

{E}

si :

{\forall(u,v)\in F^2,\;\forall\lambda\in\mathbb{K},\;\begin{cases}u+v\in F\cr \lambda u\in F\end{cases}}

Il revient au même d’écrire :

{\forall(u,v)\in F^2,\;\forall(\lambda,\mu)\in\mathbb{K}^{2},\;\lambda u+\mu v\in F}

Proposition
Soit

{E}

un espace vectoriel sur

{\mathbb{K}}

, et soit

{F}

un sous-espace vectoriel de

{E}

.
Alors l’ensemble

{F}

, muni des « lois induites », est lui-même un espace vectoriel sur

{\mathbb{K}}

La réciproque de la propriété est vraie. On comprendra donc l’expression « sous-espace vectoriel » comme une traduction de l’inclusion d’un espace vectoriel dans un autre.

Remarques

On dit souvent sous-espace plutôt que sous-espace vectoriel.
Tous les sous-espaces vectoriels de ${E}$ contiennent au moins le vecteur nul de ${E}$ .
Pour montrer que ${F}$ est un sous-espace vectoriel de ${E}$ , on n’oubliera pas la condition ${F\ne\emptyset}$ .
On vérifiera par exemple que le vecteur nul ${0}$ de ${E}$ appartient à ${F}$ .

Définition (stabilité par combinaisons linéaires)
Soit

{F}

un sous-espace vectoriel de

{E}

.
Pour toute famille

{(u_i)_{i\in I}}

de vecteurs de

{F}

, et toute famille

{(\lambda_i)_{i\in I}}

{\mathbb{K}}

(à support fini),
la combinaison linéaire

{\sum_{i\in I}\lambda_iu_i}

est encore un élément de

{F}

.
On exprime cette propriété en disant que

{F}

est stable par combinaisonslinéaires.

Exemples usuels

Pour tout espace vectoriel ${E}$ , le singleton ${\{0\}}$ et ${E}$ lui-même sont des sous-espaces vectoriels de ${E}$ .
On dit que ${\{0\}}$ est le « sous-espace nul » de ${E}$ .
L’ensemble ${\mathbb{K}_n[X]}$ des polynômes de degré inférieur ou égal à ${n}$ est un sous-espace de ${\mathbb{K}[X]}$ .
Soit ${I}$ un intervalle de ${\mathbb{R}}$ , et soit ${\mathcal{F}(I,\mathbb{K})}$ l’espace vectoriel des fonctions de ${I}$ dans ${\mathbb{K}}$ .
L’ensemble ${{\mathcal C}(I,\mathbb{K})}$ des fonctions continues de ${I}$ dans ${\mathbb{K}}$ est un sous-espace de ${\mathcal{F}(I,\mathbb{K})}$ .
L’ensemble ${{\mathcal C}^k(I,\mathbb{K})}$ des fonctions de classe ${{\mathcal C}^{k}}$ est un sous-espace de ${{\mathcal C}(I,\mathbb{K})}$ donc de ${\mathcal{F}(I,\mathbb{K})}$ .

Droites vectorielles et plans vectoriels

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