Limites et continuité (4/5)

Soit {f} une fonction numérique réelle, définie sur l’intervalle {I}.
On dit que {f} est continue sur {I} si {f} est continue en tout point de {I}.
On note {\mathcal{C}(I,\mathbb{R})} l’ensemble des fonctions continues sur {I}, à valeurs réelles.

• Les fonctions constantes, les fonctions {x\mapsto x} et {x\mapsto|x|}, sont continues sur {\mathbb{R}}.
• Les fonctions polynomiales sont continues sur {\mathbb{R}}. Les fonctions rationnelles (quotient de fonctions polynomiales) sont continues sur chaque intervalle de leur domaine de définition.
• Les fonctions usuelles {x\mapsto\sin(x)}, {x\mapsto\cos(x)}, {x\mapsto\tan(x)}, {x\mapsto\exp(x)}, {x\mapsto\ln(x)} et {x\mapsto x^\alpha} sont continues sur chaque intervalle de leur domaine.

Soit {f} et {g} deux fonctions continues sur {I}.
Alors {\alpha f+\beta g} ({\alpha,\beta} dans {\mathbb{R}}), {fg}, {\inf(f,g)} et {\sup(f,g)} sont continues sur {I}.

Si {f\colon I\to\mathbb{R}} et {g\colon J\to\mathbb{R}} sont continues, avec {f(I)\subset J}, alors {g\circ f} est continue sur {I}.

Pour démontrer qu’une fonction est continue sur un intervalle {I}, on ne revient pratiquement jamais à la définition « epsilonesque ». Le plus souvent, la fonction à étudier est en effet un « cocktail » de fonctions continues usuelles et les propriétés précédentes permettent de conclure.

La continuité, même sur un intervalle, reste une propriété locale, ce qui signifie qu’elle n’est que le bilan de la continuité de {f} en chacun des points de {I}.