Limites et continuité (1/5)

Dans ce chapitre, on étudie la limite d’une fonction en un point {a} (éventuellement {a=\pm\infty}).

On sera aussi conduit à comparer des fonctions « au voisinage de {a} ».

Par exemple pour écrire que si {f\le g} alors la limite de {f} en {a} est inférieure ou égale à celle de {g} :

• il faut que {f} et {g} soient toutes deux définies sur un même voisinage de {a}.
• il suffit que l’inégalité {f(x)\le g(x)} soit vraie au voisinage de {a}.

L’expression « au voisinage de {a} » peut s’entendre comme « suffisamment près de {a} », mais cela est un peu trop familier, et ça ne traduit pas le cas où {a} est égal à {+\infty} ou à {-\infty}.

On doit donc définir précisément ce qu’est « une propriété vraie au voisinage d’un point {a}« .

Soit {I} un intervalle de {\mathbb{R}}, d’intérieur non vide.
Soit {a} un élément de {I} ou une « extrémité » de {I} (éventuellement {a=\pm\infty}).
Soit {\mathcal{P}(x)} une proposition, vraie ou fausse selon les valeurs d’un élément {x} de {I}.
On dit que {\mathcal{P}} est vraie au voisinage de {a} si l’une des situations suivantes est réalisée :

• {a} est réel et il existe {\delta>0} tel que : {\forall\, x\in I\,\cap\,]a-\delta,a+\delta[}, {\mathcal{P}(x)} est vraie.
• {a=+\infty} et il existe un réel {A} tel que : {\forall\, x\ge A,\;\mathcal{P}(x)} est vraie.
• {a=-\infty} et il existe un réel {A} tel que : {\forall\, x\le A,\;\mathcal{P}(x)} est vraie.

Dans le premier cas, la clause « {x\in I} » n’est utile que si {a} est une extrémité de {I}.
En effet si {a} est intérieur à {I}, alors pour tout {\delta} assez petit, {]a-\delta,a+\delta[} est inclus dans {I}.

Si {f,g} sont définies sur {I}, on pourra par exemple écrire : si {f(x)\le g(x)} au voisinage de {a}, alors …