Espaces de dimension finie

Plan du chapitre "Espaces vectoriels"

Existence de bases en dimension finie

Définition (notion d'espace vectoriel de dimension finie)
Soit

{E}

{\mathbb{K}}

-espace vectoriel.
On dit que

{E}

est de dimension finie si

{E}

possède une famille génératrice finie.

Avec cette définition, l’espace réduit à ${\{0\}}$ est de dimension finie.
Si un espace vectoriel n’est pas de dimension finie, il est dit… de dimension infinie.
C’est le cas de l’espace vectoriel ${\mathbb{K}[X]}$ des polynômes à coefficients dans ${\mathbb{K}}$ .
Remarque : à ce stade, on sait ce qu’est un espace vectoriel de dimension finie ${E}$ , mais on ne sait pas encore ce qu’est (donc ce que vaut) la dimension de ${E}$ .

Proposition (existence de bases dans un espace de dimension finie)
Soit

{E}

un espace vectoriel de dimension finie sur

{\mathbb{K}}

.
Soit

{(u_{i})_{i\in I}}

une famille génératrice finie de

{E}

.
Soit

{J}

une partie de

{I}

pour laquelle la famille

{(u_{j})_{j\in J}}

est libre.
Alors il existe une partie

{K}

telle que

{J\subset K\subset I}

et pour laquelle

{(u_{k})_{k\in K}}

est une base de

{E}

.
Conséquence : dans tout espace vectoriel de dimension finie, il existe des bases.

Proposition (théorèmes de la base extraite et de la base incomplète)
Soit

{E}

un espace vectoriel de dimension finie sur

{\mathbb{K}}

.
Théorème « de la base extraite » : de toute famille génératrice de

{E}

on peut extraire une base.
Théorème « de la base incomplète » : toute famille libre de

{E}

peut être complétée en une base.

Dimension d’un espace de dimension finie

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