Séries numériques et Python

On trouvera ici les exercices corrigés du site mathprepa.fr, pour le chapitre « Séries numériques », dans la catégorie « Séries numériques et Python ».

Nombres de Bell

(Oral Centrale 2018)
On pose

{u_{0}=1}

et :

{\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}u_{k}}

.
Écrire une fonction Python calculant

{u_n}

.
Conjecturer la valeur de

{\dfrac{1}{\text{e}}\displaystyle\sum\limits_{k\ge 0}\dfrac{k^{n}}{k!}}

.
Prouver cette conjecture. Calculer

{f(x)=\displaystyle\sum\dfrac{u_{n}}{n!}x^n}

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Intégrales de Wallis hyperboliques

(Oral Centrale)
On étudie

{I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\alpha}\,\text{sh}^n(t)\,\text{d}t}

où

\text{sh}(\alpha)=1

(calcul approché avec Python, relation de récurrence, limite, équivalent, séries…)

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Des milliers de décimales de π

Soit

x=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}p_k\,u_k

, où

{u_k=\dfrac{(k!)^2\,2^{k}}{(2k+1)!}}

.
Ce développement est dit régulier si

{\begin{cases}\forall k\ge1,\; 0\le p_k\le 2k\\\forall n\ge1,\;\exists m\ge n, p_m\lt 2k\end{cases}}

On étudie la convergence de ces développements, et un algorithme réduisant (par reports de retenues) à sa forme régulière le développement de

10^nx

, avec

n\in\mathbb{N}

. On en déduit une fonction Python donnant des milliers de décimales de

\pi

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