Séries numériques et intégrales

On trouvera ici les exercices corrigés du site mathprepa.fr, pour le chapitre « Séries numériques », dans la catégorie « Séries numériques et intégrales ».

Série définie par une intégrale

(Oral Mines-Ponts)
Étudier la série de terme général

{u_{n}=\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\!\!\text{e}^{-x^{n}}\,\text{d}x}

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Suite d’intégrales et série

(Oral Ccp)
1. Intégrabilité des

{f_{n}\,\colon x\to \dfrac{x^{2n+1}\ln(x)}{x^{2}-1}}

sur

{]0,1[}

.
On note

{I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}f_{n}(x)\,\text{d}x}

. Déterminer

{\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}I_{n}}

.
2. Montrer que

{I_{n}=\displaystyle\dfrac{1}{4}\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}

.
En déduire un équivalent de

{I_{n}}

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