Une récurrence très sensible
(Oral Centrale) On étudie (avec Python, puis théoriquement) le comportement d’une suite récurrente, en fonction de la valeur de son terme initial.
Séries à termes positifs 2
Équivalents et séries de Riemann
On se donne {\alpha\in]0,1[} et {\beta>1}.
On pose {S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac1{k^\alpha}} et {R_n=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac1{k^\alpha}}.
Donner un équivalent de {R_n} et de {S_n}.
On pose {S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac1{k^\alpha}} et {R_n=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac1{k^\alpha}}.
Donner un équivalent de {R_n} et de {S_n}.
Séries à termes positifs (2)
Huit exercices sur le thème « séries à termes positifs » (2/2)
Une série à paramètres
Convergence (et somme éventuelle) de {\displaystyle\sum_{n\ge0}\bigl(\sqrt{n}+a\sqrt{n\!+\!1}+b\sqrt{n\!+\!2}\bigr)}
Sommes harmoniques et séries
(Oral Ccp)
On calcule {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_{n}}, où {u_{n}=\dfrac{1}{\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2}}}.
On calcule {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_{n}}, où {u_{n}=\dfrac{1}{\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2}}}.
Suite implicite et série
(Oral Ccp)
Soit u_n l’unique solution réelle de nx^{3}+n^{2}x=2.
Étudier {(u_{n})_{n\ge1}}, puis la convergence de {\displaystyle\sum_{n\ge1} u_{n}^{\alpha}} selon {\alpha}.
Soit u_n l’unique solution réelle de nx^{3}+n^{2}x=2.
Étudier {(u_{n})_{n\ge1}}, puis la convergence de {\displaystyle\sum_{n\ge1} u_{n}^{\alpha}} selon {\alpha}.
Deux sommes de séries numériques
(Oral Ccp)
Calculer {\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\ln\Bigl(1+\dfrac{2}{n(n\!+\!3)}\Bigr)}, et {\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\ln\Bigl(\cos\Bigl(\dfrac{x}{2^{n}}\Bigr)\Bigr)} pour {-\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}}
Calculer {\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\ln\Bigl(1+\dfrac{2}{n(n\!+\!3)}\Bigr)}, et {\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\ln\Bigl(\cos\Bigl(\dfrac{x}{2^{n}}\Bigr)\Bigr)} pour {-\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}}
Suite récurrente, calculs asymptotiques
(Oral Centrale)
Soit {x_{0}>0} et : {\forall n\ge0,\;x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{1}{x_{n}}}.
On demande un développement asymptotique à deux termes de {x_n} en {+\infty}.
Soit {x_{0}>0} et : {\forall n\ge0,\;x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{1}{x_{n}}}.
On demande un développement asymptotique à deux termes de {x_n} en {+\infty}.
La somme des 1/k^2
(Oral Mines-Ponts)
Une méthode classique, avec du calcul intégral, pour obtenir la valeur de {\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}.
Une méthode classique, avec du calcul intégral, pour obtenir la valeur de {\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}.
Nature d’une série numérique
Convergence d’une série numérique
(Oral Mines-Ponts)
Condition sur {P\in\mathbb{R}[X]} pour que {\displaystyle\sum\Bigl(\big( n^4+n^2\big)^{1/4}-\big(P(n)\big)^{1/3}\Bigr)} converge.
Condition sur {P\in\mathbb{R}[X]} pour que {\displaystyle\sum\Bigl(\big( n^4+n^2\big)^{1/4}-\big(P(n)\big)^{1/3}\Bigr)} converge.
Une série numérique
Écriture binaire d’un nombre réel
(Oral X-Cachan Psi)
On pose {x \in[0,1[} et {x_{1} = \lfloor 2x\rfloor}
Puis {x_{n+1}= \lfloor 2^{n+1}(x - S_{n})\rfloor}, où {S_{n} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{x_{k}}{2^{k}}}.
On étudie la convergence de la suite (S_n) vers x, et l’unicité de la représentation.
On pose {x \in[0,1[} et {x_{1} = \lfloor 2x\rfloor}
Puis {x_{n+1}= \lfloor 2^{n+1}(x - S_{n})\rfloor}, où {S_{n} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{x_{k}}{2^{k}}}.
On étudie la convergence de la suite (S_n) vers x, et l’unicité de la représentation.
Formule de Stirling
On démontre ici l’équivalent : {n!\overset{+\infty}\sim \Bigl(\dfrac{n}{\text{e}}\Bigr)^{n}\,\sqrt{2\pi n}}.